Гіперсфера

Проєкція тривимірної проєкції аппроксимації гіперсфери чотиривимірного простору

Гіперсфера — це множина точок многовида, рівновіддалених від заданої точки (центра гіперсфери).

Як бачимо, поняття гіперсфера є узагальненням кола і сфери у випадку, коли розглядається геометрія на довільному многовиді, а не лише на площині чи у тривимірному евклідовому просторі.

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі

Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат ${x^{1}, x^{2}, \dots x^{N}}$ , початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора $𝐫$ для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса $a$ гіперсфери:

(1) 𝐫^{2} = (𝐫 \cdot 𝐫) = a^{2}

або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:

(2) (x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} + \dots + (x^{N})^{2} = \sum_{i = 1}^{N} (x^{i})^{2} = a^{2}

Координати на гіперсфері та координатні вектори

Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо $x^{N}$ , через решту $n = N - 1$ координату:

(3) x^{N} = \pm \sqrt{a^{2} - \sum_{i = 1}^{n} (x^{i})^{2}}

Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором $n = N - 1$ чисел ${x^{1}, x^{2}, \dots x^{n}}$ , які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:

(4) 𝐫 = 𝐫 (u^{1}, u^{2}, \dots u^{n})

де

(6) u^{1} = x^{1}, u^{2} = x^{2}, \dots u^{n} = x^{n}

Радіус-вектор $𝐫$ можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:

(7) 𝐫 = {u^{1}, u^{2}, \dots u^{n}, z}

де функція $z = z (u^{1}, \dots u^{n})$ дається формулою (3) з додатнім знаком:

(8) z = \sqrt{a^{2} - \sum_{i = 1}^{n} (u^{i})^{2}}

Ми можемо обчислити координатний вектор $𝐫_{i}$ , беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:

(9) 𝐫_{i} = \frac{\partial 𝐫}{\partial u^{i}} = {0, 0, \dots 1, \dots 0, z_{i}}

В фігурних дужках одиниця стоїть на $i$ -тому місці, $z_{i} = \frac{\partial z}{\partial u^{i}}$ , а решта координат дорівнюють нулю.

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм

Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:

(10) g_{i j} = (𝐫_{i} \cdot 𝐫_{j}) = δ_{i j} + z_{i} z_{j}

Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі $𝐧$ до гіперсфери паралельний радіус-вектору $𝐫$ . Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:

(11) \frac{\partial}{\partial u^{i}} (𝐫 \cdot 𝐫) = 2 (𝐫 \cdot 𝐫_{i}) = 0

Тобто радіус-вектор $𝐫$ ортогональний базисним координатним векторам $𝐫_{i}$ , а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі $𝐧$ всередину сфери, то:

(12) 𝐫 = - | 𝐫 | 𝐧 = - a 𝐧, 𝐧 = - \frac{𝐫}{a}

Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:

(13) \frac{\partial^{2} 𝐫}{\partial u^{i} \partial u^{j}} = 𝐫_{i j} = Γ_{i j}^{k} 𝐫_{k} + 𝐧 b_{i j}

можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми $b_{i j}$ через скалярні добутки:

(14) b_{i j} = (𝐧 \cdot 𝐫_{i j}) = - \frac{1}{a} (𝐫 \cdot 𝐫_{i j})

Далі, диференціюючи формулу (11) по $u^{j}$ , маємо таку рівність:

(15) 0 = \frac{\partial}{\partial u^{j}} (𝐫 \cdot 𝐫_{i}) = (𝐫_{j} \cdot 𝐫_{i}) + (𝐫 \cdot 𝐫_{i j}) = g_{i j} - a b_{i j}

Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:

(16) b_{i j} = \frac{1}{a} g_{i j}

Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через $τ = \frac{d 𝐫}{d s}$ одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:

(17) 𝐤 = 𝐛_{i j} τ^{i} τ^{j} = 𝐧 \frac{1}{a} g_{i j} τ^{i} τ^{j} = \frac{𝐧}{a}

Тензор Рімана

Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана $R_{i j k l}$ у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки $g_{i j, k l}$ :

(18) R_{i j k l} = b_{i k} b_{j l} - b_{i l} b_{j k} = \frac{1}{a^{2}} (g_{i k} g_{i l} - g_{i l} g_{j k}) = \frac{1}{a^{2}} g_{i j, k l}

Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора $g_{i j}$ . Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:

(19) Γ_{i j, k} = \frac{1}{2} (\partial_{i} g_{k j} + \partial_{j} g_{i k} - \partial_{k} g_{i j}) = \frac{1}{2} (\partial_{i} (z_{k} z_{j}) + \partial_{j} (z_{i} z_{k}) - \partial_{k} (z_{i} z_{j})) =

= \frac{1}{2} (z_{i k} z_{j} + z_{k} z_{i j} + z_{i j} z_{k} + z_{i} z_{j k} - z_{i k} z_{j} - z_{i} z_{j k}) = z_{k} z_{i j}

В цій формулі фігурують перші та другі похідні від функції багатьох змінних $z = z (u^{1}, u^{2}, \dots u^{n})$ (формула 8). Обчислимо їх:

(20) z_{i} = \frac{\partial}{\partial u^{i}} \sqrt{a^{2} - \sum (u^{k})^{2}} = - \frac{u^{i}}{\sqrt{a^{2} - \sum (u^{k})^{2}}} = - \frac{u^{i}}{z}

(21) z_{i j} = \partial_{j} (- \frac{u^{i}}{z}) = - \frac{δ_{i j}}{z} + u^{i} \frac{z_{j}}{z^{2}} = - \frac{δ_{i j} + z_{i} z_{j}}{z} = - \frac{g_{i j}}{z}

Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:

(22) R_{i j k}^{s} = \partial_{j} Γ_{k i}^{s} - \partial_{k} Γ_{j i}^{s} + Γ_{j p}^{s} Γ_{k i}^{p} - Γ_{k p}^{s} Γ_{j i}^{p}

Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс $s$ :

(23) R_{l i j k} = g_{l s} R_{i j k}^{s} = (\partial_{j} (g_{l s} Γ_{k i}^{s}) - (\partial_{j} g_{l s}) Γ_{k i}^{s}) - (\partial_{k} (g_{l s} Γ_{j i}^{s}) - (\partial_{k} g_{l s}) Γ_{j i}^{s}) + g_{l s} Γ_{j p}^{s} Γ_{k i}^{p} - g_{l s} Γ_{k p}^{s} Γ_{j i}^{p} =

= \partial_{j} Γ_{k i, l} - (Γ_{j l, s} + Γ_{j s, l}) Γ_{k i}^{s} - \partial_{k} Γ_{j i, l} + (Γ_{k l, s} + Γ_{k s, l}) Γ_{j i}^{s} + Γ_{j p, l} Γ_{k i}^{p} - Γ_{k p, l} Γ_{j i}^{p} =

= \partial_{j} Γ_{k i, l} - \partial_{k} Γ_{j i, l} + Γ_{k l, p} Γ_{j i}^{p} - Γ_{j l, p} Γ_{k i}^{p}

або після перейменування індексів:

(24) R_{i j k l} = \partial_{k} Γ_{l j, i} - \partial_{l} Γ_{k j, i} + Γ_{l i, s} Γ_{k j}^{s} - Γ_{k i, s} Γ_{l j}^{s}

В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор $g^{i j}$ . Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом $k$ :

(25) g^{i j} = δ_{i j} + k z_{i} z_{j}

Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:

(26) δ_{i j} = \sum_{s} g_{i s} g^{s j} = \sum_{s} (δ_{i s} + z_{i} z_{s}) (δ_{s j} + k z_{s} z_{j}) =

= \sum_{s} (δ_{i s} δ_{s j} + k δ_{i s} z_{s} z_{j} + δ_{s j} z_{i} z_{s} + k z_{i} z_{s} z_{s} z_{j}) = δ_{i j} + k z_{i} z_{j} + z_{i} z_{j} + k q z_{i} z_{j}

де буквою $q$ позначено суму квадратів похідних (20):

(27) q = \sum_{s} z_{s}^{2} = \sum_{s} {(- \frac{u^{s}}{z})}^{2} = \frac{a^{2} - z^{2}}{z^{2}} = \frac{a^{2}}{z^{2}} - 1

Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:

(28) 0 = k + 1 + k q = k + 1 + k (\frac{a^{2}}{z^{2}} - 1) = 1 + k \frac{a^{2}}{z^{2}}

Звідси легко знайти коефіцієнт $k$ , і ми можемо підставити його в формулу (25):

(29) g^{i j} = δ_{i j} - \frac{z^{2}}{a^{2}} z_{i} z_{j}

Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:

(30) Γ_{i j}^{s} = g^{s k} Γ_{i j, k} = \sum_{k} (δ_{s k} - \frac{z^{2}}{a^{2}} z_{s} z_{k}) z_{k} z_{i j} = (1 - \frac{z^{2}}{a^{2}} q) z_{s} z_{i j} = \frac{z^{2}}{a^{2}} z_{s} z_{i j}

Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:

(31) R_{i j k l} = \partial_{k} (z_{i} z_{j l}) - \partial_{l} (z_{i} z_{j k}) + \sum_{s} (z_{s} z_{i l} \frac{z^{2}}{a^{2}} z_{s} z_{j k} - z_{s} z_{i k} \frac{z^{2}}{a^{2}} z_{s} z_{j l}) =

= z_{i k} z_{j l} - z_{i l} z_{j k} - q \frac{z^{2}}{a^{2}} (z_{i k} z_{j l} - z_{i l} z_{j k}) = \frac{z^{2}}{a^{2}} (z_{i k} z_{j l} - z_{i l} z_{j k})

Якщо врахувати формулу (21) для $z_{i j}$ , то ми знову одержимо формулу (18).

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна

Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:

(32) k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n} = \frac{1}{a}

то легко можна обчислити кривину Ґаусса $K^{[m]}$ , як симетричний многочлен від головних кривин:

(33) K^{[m]} = (- 1)^{m} \sum_{i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}} k_{i_{1}} k_{i_{2}} \dots k_{i_{m}} = \frac{(- 1)^{m}}{a^{m}} C_{n}^{m}

де $C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}$ — біноміальний коефіцієнт.

Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:

(34) R_{j}^{[m] i} = \frac{(- 1)^{m}}{(m - 1)!} g_{p_{1} p_{2} \dots p_{m}}^{i s_{2} \dots s_{m}} b_{j}^{p_{1}} b_{s_{2}}^{p_{2}} \dots b_{s_{m}}^{p_{m}} = \frac{(- 1)^{m}}{a^{m}} C_{n - 1}^{m - 1} δ_{j}^{i}

Він виявляється пропорційним метричному тензору.

Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:

(35) G_{j}^{[m] i} = R_{j}^{[m] i} - K^{[m]} δ_{j}^{i} = \frac{(- 1)^{m}}{a^{m}} (C_{n - 1}^{m - 1} - C_{n}^{m}) δ_{j}^{i} = \frac{(- 1)^{m - 1}}{a^{m}} C_{n - 1}^{m} δ_{j}^{i}

Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера

Об'єм (або площа) гіперсфери

Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в $N$ -вимірному евклідовому просторі:

(36) I_{N} = \int e^{- (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{N}^{2})} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{N}

Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.

По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:

(37) I_{N} = \int e^{- x_{1}^{2}} d x_{1} \dots \int e^{- x_{N}^{2}} d x_{N} = I^{N}

Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:

(38) I = \int e^{- x^{2}} d x

По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:

(39) r^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{N}^{2}

і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса $r$ , де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:

(40) I_{N} = \int_{0}^{\propto} E (r) d r

Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:

(41) E (r) = \int_{hypersphere} e^{- r^{2}} d S = e^{- r^{2}} \int_{hypersphere} d S = e^{- r^{2}} r^{N - 1} ω_{N}

Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом $r$ площа одиничної гіперсфери $ω_{N}$ збільшується в $r^{n}$ разів, де $n = N - 1$ - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою $r^{2} = t$ зводиться до гамма-функції Ейлера $Γ (a) = \int_{0}^{\propto} e^{- t} t^{a - 1} d t$ підстановкою $r^{2} = t$ :

(42) I_{N} = ω_{N} \int_{0}^{\propto} e^{- r^{2}} r^{N - 1} d r = ω_{N} \int_{0}^{\propto} e^{- t} t^{\frac{N - 1}{2}} \frac{d t}{2 \sqrt{t}} = \frac{ω_{N}}{2} \int_{0}^{\propto} e^{- t} t^{\frac{N}{2} - 1} d t = \frac{ω_{N}}{2} Γ (\frac{N}{2})

Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу $ω_{N}$ гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):

(43) \frac{ω_{N}}{2} Γ (\frac{N}{2}) = I^{N}

(44) ω_{N} = \frac{2 I^{N}}{Γ (\frac{N}{2})}

У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола $L = ω_{2} = 2 π$ , і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:

(45) 2 π = ω_{2} = \frac{2 I^{2}}{Γ (1)} = 2 I^{2}

(46) I = \sqrt{π}

Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі $n$ -вимірної гіперсфери одиничного радіуса:

(47) ω_{N} = \frac{2 π^{\frac{N}{2}}}{Γ (\frac{N}{2})}

де $N = n + 1$ - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.

Об'єм $N$ -вимірної кулі

Для обчислення об'єму кулі радіуса $R$ , розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса $r, (0 < r \leq R)$ і площею $S (r) = ω_{N} r^{N - 1}$ на прошарки товщиною $d r$ , тоді:

(48) V (R) = \int_{0}^{R} S (r) d r = ω_{N} \int_{0}^{R} r^{N - 1} d r = \frac{ω_{N}}{N} R^{N}

Див. також

Шаблон:Багатовимірність

Гіперсфера

Зміст

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі

Координати на гіперсфері та координатні вектори

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм

Тензор Рімана

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна

Об'єм (або площа) гіперсфери

Об'єм $N$ -вимірної кулі

Див. також

Навігаційне меню

Гіперсфера

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі

Координати на гіперсфері та координатні вектори

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм

Тензор Рімана

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна

Об'єм (або площа) гіперсфери

Об'єм N-вимірної кулі

Див. також

Навігаційне меню

Пошук

Об'єм $N$ -вимірної кулі