Таблиця істинності

Шаблон:Sidebar Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

В двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» ($true$ або $false$, $1$ або $0$).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для логічних операцій

$𝐀$	Заперечення $\mathrm{\neg }𝐀$	Тавтологія $\mathrm{\top }$	Протиріччя $\mathrm{\perp }$
0	1	1	0
1	0	1	0

$𝐀$	$𝐁$	Кон'юнкція, AND $A\wedge B$	Диз'юнкція, OR $A\vee B$	Виключна диз'юнкція, XOR $A\oplus B$	Еквівалентність, XNOR $A\leftrightarrow B$	Імплікація $A\to B$	Неімплікація $A\nrightarrow B$	Обернена імплікація $A\leftarrow B$	Обернена неімплікація $A\nleftarrow B$	Штрих Шефера, NAND $A|B$	Стрілка Пірса, NOR $A\downarrow B$
0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0
альтернативне позначення		$AB$	$A+B$	$A\underset{\_}{\vee }B$	$A\overline{\underset{\_}{\vee }}B$	$A\Rightarrow B$	$A\nRightarrow B$	$A\Leftarrow B$	$A\nLeftarrow B$	$A\bar{\wedge }B$	$A\bar{\vee }B$
графічно

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : $(p\to q)=(\mathrm{\neg }p\vee q)$

$p$	$q$	$\mathrm{\neg }p$	$\mathrm{\neg }p\vee q$	$p\to q$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

З цієї таблиці одержуємо, що вираз $p\to q$ є еквівалентним $\mathrm{\neg }p\vee q$.

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

$\begin{array}{ccccccc}p& q& r& p\vee q& \mathrm{\neg }(p\vee q)& p\to r& \mathrm{\neg }(p\vee q)\to (p\to r)\\ 1& 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1\end{array}$

Див. також

• Математична логіка
• Алгебра логіки
• Числення висловлень
• Математичні таблиці

Джерела

• Шаблон:Дрозд.Дискретна математика
• Шаблон:Дрозд.Основи математичної логіки
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:Springer