Декартів добуток

Декартів добуток $A\times B$ множин $A=\{x,y,z\}$ та $B=\{1,2,3\}$

У теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перший компонент належить множині X, а другий — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X × Y:

$X\times Y=\{(x,y)|x\in X\wedge y\in Y\}.$

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13 × 4 = 52) {(A, червоний), (K, червоний), …, (2, червоний), (A, чорний), …, (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добуток

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток X² = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел $ℝ$ є двовимірний простір (площина) ${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$ — множина усіх точок з координатами (x, y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X₁, X₂, …, X_n, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

$X_1\times X_2\times \cdots \times X_n=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|x_1\in X_1\wedge x_2\in X_2\wedge \cdots \wedge x_n\in X_n\}.$

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою.

n-арний декартів добуток однієї множини X × … × X позначають також як Xⁿ і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A × B) × C ≠ A × (B × C), A × B ≠ B × A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D).$

Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),$

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),$

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),$

$\overline{(A\times B)}=(\bar{A}\times \bar{B})\cup (\bar{A}\times B)\cup (A\times \bar{B}).$

Для підмножин будуть правильні твердження:

• Якщо $A\subseteq B$, то $A\times C\subseteq B\times C,$
• Якщо $A,B\ne \mathrm{\varnothing }$, то $A\times B\subseteq C\times D⟺A\subseteq C\wedge B\subseteq D.$

Проєкції

Проєкцією кортежу A = (x₁, x₂, …, x_n) на i-ту вісь (або i-ю проєкцією) називається i-та координата x_i кортежу A, позначається Pr_i (A) = x_i.

Проєкцією кортежу A = (x₁, x₂, …, x_n) на осі з номерами i₁, i₂,…, i_k називається кортеж (x_i1, x_i2, …, x_ik), позначається Pr_{i1, i2, …, ik}(A).

Приклад: Якщо V = {(a, b, c), (a, c, d), (a, b, d)}, то Pr₁V = {a}, Pr₂V = {b, c}, Pr_{2, 3}V = {(b, c), (c, d), (b, d)}.

Див. також

• Залишково скінченна група
• Добуток графів
• Декартів добуток графів
• Прямий добуток груп

Джерела

• Шаблон:Книга