Алгебра (теорія множин)

Алгебра множин в теорії множин — непорожня система підмножин деякої множини $X$, замкнена щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми).

Визначення

Сім'я $𝔄\subset 2^X$ підмножин множини $X$ (тут $2^X$ — булеан) називається алгеброю, якщо:

1. $\varnothing \in 𝔄.$
2. Якщо множина $A\in 𝔄$, то і її доповнення $X\setminus A\in 𝔄.$
3. Об'єднання двох множин $A,B\in 𝔄$ також належить $𝔄.$

Зауваження

• За означенням, якщо алгебра містить множину $A$, вона містить і її доповнення. Об'єднанням $A$ з її доповненням є вихідна множина $X$. Доповненням до множини $X$ є порожня множина. Це означає, що множина $X$ і порожня множина містяться в алгебрі за означенням.
• Зважаючи на властивості операцій над множинами, алгебра множин також є замкнутою щодо операцій перетину і симетричної різниці двох множин.
• Алгебра множин є прикладом алгебри з одиницею, де операцією «множення» є перетин множин, а операцією «додавання» є симетрична різниця.
• Якщо вихідна множина $X$ є простором елементарних подій, то алгебра $𝔄$ називається алгеброю подій — ключове поняття теорії ймовірностей та пов'язаних з нею математичних дисциплін, що має унікальну інтерпретацію та відіграє самостійну роль у математиці.

Алгебра подій

Алгебра подій (в теорії ймовірностей) — алгебра підмножин простору елементарних подій $\mathrm{\Omega }$, елементами якого є елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина) і замкнута щодо теоретико-множинних операцій, для скінченної кількості множин . Достатнь вимагати, щоб алгебра подій була замкнута щодо двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість щодо будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій яка є замкнутою щодо теоретико-множинних операцій, із зліченною кількістю множин, називається [сигма-алгебра|сигма-алгеброю]] подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри і сигма-алгебри подій:

• алгебра скінченних підмножин $\mathrm{\Omega }$;
• сигма-алгебра зліченних підмножин $\mathrm{\Omega }$;
• алгебра підмножин ${ℝ}^n$, утворена об'єднаннями скінченної кількості інтервалів;
• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору $\mathrm{\Omega }$, тобто найменша сигма-алгебра, що містить всі відкриті підмножини $\mathrm{\Omega }$;
• алгебра циліндрів у просторі функцій та сигма-алгебра, ними породжена.

Подія $A+B$ або $A\cup B$, яка полягає в тому, що з двох подій $A$ і $B$ відбувається принаймні одна, називається сумою подій $A$ і $B$.

Ймовірнісний простір — алгебра подій із заданою функцією ймовірності $\mathbb{P}$, тобто сигма-адитивною скінченною мірою, областю визначення якої є алгебра подій, де $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1$.

Будь-яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженої даною алгеброю подій.