Поліноми Чебишова

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів $\{T_n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ і $\{U_n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$, названі на честь Пафнутія Чебишова.

Визначення

Поліном Чебишова першого роду визначається як

$T_0=1,T_n(x)=\cos (n\arccos x),$

де $n=1,2,3,...$ Поліном Чебишова першого роду $T_n(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^{n-1}$, що на відрізку $[-1,1]$ має найменше відхилення від нуля серед усіх таких поліномів. Вони утворюють ортогональний базис із ваговою функцією $w(x)=1/(1-x^2{)}^{1/2}$ у інтервалі $[-1,1]$, оскільки підстановка $\theta =\arccos x$ приводить до рівняння

$\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{(1-x^2{)}^{1/2}}=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos n\theta \cos m\theta d\theta =0(m\ne n).$

Поліноми Чебишова другого роду визначаються як

$U_0=1,U_n(x)=\sin (n\arccos x),$

де $n=1,2,3,...$ Поліном Чебишова другого роду $U_n(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^n$, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку $[-1,1]$ набуває найменшого можливого значення.

Поліноми Чебишова можна записати у вигляді

$T_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n+(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n],$

$U_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n-(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n].$

Ці формули можна отримати, якщо вважати $x=\cos \theta ,$ представивши тригонометричні функції у експониненційній формі й застосовуючи теорему Муавра та замінюючи після цього $\cos \theta$ на $x,$ a $\sin \theta$ на $(1-x^2{)}^{1/2}.$

Рекурентні співвідношення

Бінономіальний розклад рівнянь

$T_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n+(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n],$

$U_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n-(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n]$

приводить до рівнянь, які можна використати для обчислення декількох поліномів Чебишева. Ці рівняння мають наступний вигляд

$T_n(x)=\sum _{r=0}^{n/2}(-1{)}^r\frac{n!}{(2r)!(n-2r)!}(1-x^2{)}^r{x}^{n-2r},$

$U_n(x)=\sum _{r=0}^{(n-1)/2}(-1{)}^r\frac{n!}{(2r+1)!(n-2r-1)!}(1-x^2{)}^{r+1/2}{x}^{n-2r+1}.$

Поліноми Чебишова першого роду $T_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1,$

$T_3(x)=4x^3-3x,$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1,$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x;$

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$

Поліноми Чебишова другого роду $U_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

$U_0(x)=1,$

$U_1(x)=2x,$

$U_2(x)=(1-x^2{)}^{1/2},$

$U_2(x)=(1-x^2{)}^{1/2}2x,$

$U_3(x)=(1-x^2{)}^{1/2}(4x^2-1),$

$U_4(x)=(1-x^2{)}^{1/2}(8x^3-4x),$

$U_5(x)=(1-x^2{)}^{1/2}(16x^4-12x^2+1).$

$U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).$

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2}.$

Явні формули

Поліноми Чебишова є розв'язками рівняння Пелля в кільці поліномів із дійсними коефіцієнтами:

$T_n(x{)}^2-(x^2-1)U_{n-1}(x{)}^2=1$

Вони задовольняють рівність:

$T_n(x)+U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1}=(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n.$

З останньої рівності також випливають формули:

$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})(x^2-1{)}^k{x}^{n-2k};$

$U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1}{)}^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1})(x^2-1{)}^k{x}^{n-2k}.$

Тригонометричні співвідношення

Поліноми Чебишова першого роду $T_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

$T_n(\cos (\theta ))=\cos (n\theta ).$

або,

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)=\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x)$

Поліноми Чебишова другого роду $U_n(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

$U_n(\cos (\theta ))=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }.$

Можна також виразити через гіперболічні функції

$T_n(x)=\mathrm{c}\mathrm{h}(n\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}x)$

та

$U_n(x)=\mathrm{s}\mathrm{h}(n\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}x).$

Із цих рівнянь випливають рівняння

$T_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n+(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n],$

$U_n(x)=1/2[(x+i\sqrt{1-x^2}{)}^n-(x-i\sqrt{1-x^2}{)}^n]$

якщо вважати $x=\mathrm{c}\mathrm{h}\phi$, представити гіперболічні функції у експониненційному вигляді, відзначивши, що $\mathrm{c}\mathrm{h}\phi +\mathrm{s}\mathrm{h}\phi =e^{\phi }$ та $\mathrm{c}\mathrm{h}\phi -\mathrm{s}\mathrm{h}\phi =e^{-\phi }.$ Після цього потрібно замінити $\mathrm{c}\mathrm{h}\phi$ на $x,$ a $\mathrm{s}\mathrm{h}\phi$ на $(x^2-1{)}^{1/2}.$

Диференціальні рівняння Чебишова

Поліноми Чебишова є розв'язками диференціальних рівнянь:

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0$

і

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0$

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади

Поліноми Чебишева першого роду на відрізкуШаблон:Nowrap: T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

Перші поліноми Чебишова першого роду

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x.$

Перші поліноми Чебишова другого роду

Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅.

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_2(x)=4x^2-1$

$U_3(x)=8x^3-4x$

$U_4(x)=16x^4-12x^2+1$

$U_5(x)=32x^5-32x^3+6x$

$U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1$

$U_7(x)=128x^7-192x^5+80x^3-8x$

$U_8(x)=256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1$

$U_9(x)=512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x.$

Властивості

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

• Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ для поліномів першого роду і $\sqrt{1-x^2}$ для поліномів другого роду).

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m,\\ \pi /2& :n=m.\end{array}$

• Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку $[-1,1]$ не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
  • найбільший старший коефіцієнт;
  • найбільше значення у довільній точці $a\ge 1$.
• Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також

• Поліноми Фабера
• Список об'єктів, названих на честь Пафнутія Чебишова
• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения Шаблон:Webarchive