Правило паралелограма

Паралелограм.

В Евклідовій геометрії

Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей.

$(AB{)}^2+(BC{)}^2+(CD{)}^2+(DA{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2.$

В просторах зі скалярним добутком

В векторних просторах зі скалярним добутком, це правило виглядає так:

$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$

де

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩.$

В нормованих просторах

В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:

для дійсного простору

$⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4},$ або $\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2}{2},$ або $\frac{\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{2}.$

для комплексного простору

$⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4}+i\frac{\Vert ix-y{\Vert }^2-\Vert ix+y{\Vert }^2}{4}.$

Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю.

Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ задовільнятиме ці тотожності.

Поляризаційна тотожність

Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові.

Узагальнення

Якщо B — симетрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як

$Q(v)=B(v,v)$

тоді

$\begin{array}{c}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\ 2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\ 2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}$

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель