Лема Фату

Шаблон:Також Ле́ма Фату́ — твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.

Формулювання з функціонального аналізу

Нехай фіксовано простір з мірою $(X,ℱ,\mu )$. Припустимо, що $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — послідовність невід'ємних інтегровних функцій на $X$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$\underset{X}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n(x)\mu (dx)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }{f}_n(x)\mu (dx)$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\mathrm{\Omega }$, наведена вище теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай є невід'ємна послідовність інтегрованих випадкових величин $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$𝔼\left[\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{X}_n\right]\le \mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼X_n.$

Див. також

• Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Колмогоров.Фомин