Перетворення Келі

Перетворення Келі — схожі результати в теорії матриць, комплексному аналізі та для самоспряжених операторів. Названі на честь англійського математика Артура Келі.

Матриці

Перетворення Келі для квадратних матриць:

A^{C} = (I - A) (I + A)^{- 1}

перетворення Келі є інволюцією A = (A^c)^c
для дійсних матриць перетворює кососиметричну матрицю S (таку що, S^T = −S) в ортогональну матрицю Q (таку що, Q^TQ = I), і навпаки.
для комплексних матриць перетворює косоермітову матрицю S (таку що, S^* = −S) в унітарну матрицю Q (таку що, Q^*Q = I), і навпаки.

Q = (I - S) (I + S)^{- 1}

S = (I - Q) (I + Q)^{- 1}

В випадку 2×2, отримаємо

[\begin{matrix} 0 & \tan \frac{θ}{2} \\ - \tan \frac{θ}{2} & 0 \end{matrix}] \leftrightarrow [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] .

Матриця повороту на 180°, не входить, оскільки tan ^θ⁄₂ прямує до нескінченності.

Для випадку 3×3, отримаємо

[\begin{matrix} 0 & z & - y \\ - z & 0 & x \\ y & - x & 0 \end{matrix}] \leftrightarrow \frac{1}{K} [\begin{matrix} w^{2} + x^{2} - y^{2} - z^{2} & 2 (x y - w z) & 2 (w y + x z) \\ 2 (x y + w z) & w^{2} - x^{2} + y^{2} - z^{2} & 2 (y z - w x) \\ 2 (x z - w y) & 2 (w x + y z) & w^{2} - x^{2} - y^{2} + z^{2} \end{matrix}], K = w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}, w = 1 .

Права частина це матриця повороту задану кватерніоном $w + x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤 .$

Перетворення Келі в комплексному аналізі це відображення комплексної площини в себе, заданої як

W : z \mapsto \frac{z - 𝐢}{z + 𝐢}

Це відображення може бути розширене до автоморфізма Ріманової сфери.

\begin{matrix} U & = (A - 𝐢 I) (A + 𝐢 I)^{- 1} \\ A & = 𝐢 (I + U) (I - U)^{- 1} \end{matrix}

...