Нільпотентна група

Нільпотентна група — в абстрактній алгебрі вид груп, що узагальнюють абелеві групи. Широко застосовується в теорії Галуа, теорії груп Лі і при класифікації скінченних груп.

Визначення

Група $G$ називається нільпотентною, якщо існує ряд нормальних підгруп $\{e\}=G_0⩽G_1⩽G_2\dots ⩽G_n=G$, такий що:

1. $G_i◃G,i=0,\dots ,n$
2. Факторгрупи $G_{i+1}/G_i$ є підгрупами центру $Z(G/G_i)$ для $i=0,1,2,\dots ,n-1$.

Цей ряд називається центральним рядом групи $G$. Найменше $n$ для якого група $G$ є нільпотентна, називається степенем нільпотентності і позначається $\mathrm{nil}G$.

Властивості

• Довільна абелева група є нільпотентною.
• Скінченні нільпотентні групи вичерпуються прямими добутками p-груп.
• Скінченно породжені нільпотентні групи є поліциклічними групами, більше того, вони мають центральний ряд з циклічними факторами.

Див. також

• Залишково скінченна група

Джерела

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups