Мінор матриці

Мінором $k$-го порядку матриці $A$ називається визначник, утворений елементами матриці на перетині $k$ стовпців та $k$ рядків.

Формальне означення

Нехай $A=(a_{ij})$ — матриця розміру $m\times n$, в якій вибрано довільні $k$ $(k⩽n,k⩽m)$

• рядків з номерами $i_1<i_2<\dots <i_k$ та
• стовпців з номерами $j_1<j_2<\dots <j_k.$

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку $k$.

Визначник матриці, яка одержується з $A$ викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором $k$-го порядку, розташованим в рядках з номерами $i_1,i_2,\dots ,i_k$ та стовпцях з номерами $j_1,j_2,\dots ,j_k$.

$M_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{j}_1}& a_{i_1{j}_2}& \dots & a_{i_1{j}_k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_k{j}_1}& a_{i_k{j}_2}& \dots & a_{i_k{j}_k}\end{array}\right).$

Якщо$A$ є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці$A$ називається доповнювальним мінором до мінору $A_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}$

${\bar{M}}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{i_{k+1}{j}_{k+1}}& a_{i_{k+1}{j}_{k+2}}& \dots & a_{i_{k+1}{j}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_n{j}_{k+1}}& a_{i_n{j}_{k+2}}& \dots & a_{i_n{j}_n}\end{array}\right),$

де $i_{k+1}<\dots <i_n$ та $j_{k+1}<\dots <j_n$ — номери не вибраних рядків і стовпців.

Пов'язані означення

• Мінором $M_{ij}$ елемента $a_{ij}$ квадратної матриці $A$ порядку $n$ називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника $|A|$ n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_{ij}.$

• Нехай ${\mathrm{\Delta }}_k$ — деякий мінор порядку $k$ матриці $A$. Мінор порядку $k+1$ матриці називається оточуючим для мінора ${\mathrm{\Delta }}_k$, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору ${\mathrm{\Delta }}_k$. Таким чином, оточуючий мінор для мінора ${\mathrm{\Delta }}_k$ можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

• Базисним мінором ненульової матриці $A$ (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
• Для $m\times n$-матриці $A$ мінори виду $M_{i_1,\dots ,i_k}^{i_1,\dots ,i_k}$, де$i_1<i_2<\dots <i_k$ і $(k⩽n,k⩽m)$ називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.

Приклади

• Розглянемо матрицю $A$ розміру $m\times n$:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),M_{2,3}^{1,2}=\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}$ — мінор 2-го порядку.

Загалом для цієї матриці є $C_m^2{C}_n^2$ мінорів другого порядку.

• Мінор $M_{23}$ квадратної матриці $A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right),M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right|$ $⟶$ $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right|=(9-(-4))=13.$

Властивості

• Для матриці $A$ розміру $m\times n$ існує $C_m^k\cdot C_n^k$ різних мінорів порядку $k$, де $(k⩽n,k⩽m)$.

• Теорема Лапласа. Нехай $A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $n\times n,$ в якій вибрано довільні $k$ рядків. Тоді визначник матриці $A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A=\sum _{j_1<\dots <j_k}{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}{A}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $j_1,\dots ,j_k.$ Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

• Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $A$ на яких будується її базисний мінор ${\mathrm{\Delta }}_r$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

• Нехай $A$ є матрицею розміру $m\times n$, $B$ є матрицею розміру $n\times p$ і $C=AB$ є їх добутком. Позначатимемо ${}_{A}M,{}_{B}M,{}_{C}M$ мінори відповідних матриць. Тоді для мінора ${}_C{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}$ де $k⩽p,k⩽m$ і $i_1<i_2<\dots <i_k$ є номерами рядків, а $j_1<j_2<\dots <j_k$ — номерами стовпців, якщо $k>n,$ то ${}_C{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=0.$ В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць $A$ і $B$ за допомогою формули:

  ${}_C{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}=\sum _{1⩽l_1<\dots <l_k⩽n}{}_A{M}_{l_1,\dots ,l_k}^{i_1,\dots ,i_k}\cdot {}_B{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{l_1,\dots ,l_k}.$

  Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.

• Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць $AB$ і $BA$ є однаково.
• Характеристичний многочлен $p_A(\lambda )=\det (A-I_n\lambda )$ квадратної матриці $A$ можна записати як $p_A(\lambda )={\lambda }^n+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i{m}_i(A){\lambda }^{n-i}$, де $m_i(A)$ позначає суму головних мінорів порядку $i$ матриці $A.$ Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник матриці
• Ранг матриці
• Формула Біне — Коші

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівняньШаблон:Недоступне посилання. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.