Спектральна теорема

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів щодо їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах

Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор $A$ діє в векторному просторі $V,$ тоді позначимо через:

$V_{\lambda }=\{v\in V:Av=\lambda v\}$ — власний підпростір, що відповідає власному значенню $\lambda$

$P_{\lambda }$ — ортогональний проєктор на $V_{\lambda }.$

Тоді:

• $V=V_{{\lambda }_1}\oplus \dots \oplus V_{{\lambda }_k}$ — простір представляється як пряма сума власних підпросторів $V_{\lambda }$ (тобто, власні підпростори є ортогональними).
• $A={\lambda }_1{P}_{{\lambda }_1}+\dots +{\lambda }_m{P}_{{\lambda }_m}$ — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проєкторів.

Для простору нескінченної розмірності

$A=\underset{\sigma }{\int }\lambda P(d\lambda )$

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра