Рівняння Дірака (графен)

Рівняння Дірака для графену — модельне диференціальне рівняння, що наближено описує спектр збуджень у графені поблизу особливих точок зони Бріллюена й має вигляд, схожий на рівняння Дірака. Аналогічно тому, як рівняння Дірака має наслідком запровадження поняття спіну, елементарні збудження в графені характеризуються квантовим числом, яке називають квазіспіном.

Зонна структура

Якщо врахувати тільки вклад найближчих сусідів у формування енергетичних зон, то гамільтоніан в наближенні сильного зв'язку для гексагональної ґратки приймає вигляд:

$H=-t\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_A}\sum _{j=1}^3{a}^{†}({\mathbf{\text{r}}}_i)b({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j)-t\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_B}\sum _{j=1}^3{b}^{†}({\mathbf{\text{r}}}_i)a({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{v}}}_j),(1.1)$

де $t$ — інтеграл перекриття між хвильовими функціями найближчих сусідів, який визначає також ймовірність переходу («стрибка») між сусідніми атомами (атомами з різних підрешіток), оператори $a^{†}({\mathbf{\text{r}}}_i)$ та $b^{†}({\mathbf{\text{r}}}_i)$ оператори народження, які діють на трикутних підрешітках кристалу ${\mathrm{\Lambda }}_A$ та ${\mathrm{\Lambda }}_B$ відповідно, $a({\mathbf{\text{r}}}_i)$ та $b({\mathbf{\text{r}}}_i)$ — оператори знищення. Вони задовольняють звичайній антикомутаційним співвідношенням для ферміонів:

$[a({\mathbf{\text{r}}}_i),a^{†}({\mathbf{\text{r}}}_{i^{\text{'}}}){]}_{+}=[b({\mathbf{\text{r}}}_i),b^{†}({\mathbf{\text{r}}}_{i^{\text{'}}}){]}_{+}={\delta }_{i{i}^{\text{'}}}.(1.2)$

Шість векторів ${\mathbf{\text{u}}}_i$ та ${\mathbf{\text{v}}}_i$ вказують на найближчі вузли від вибранного центрального атому і задаються відношеннями

${\mathbf{\text{u}}}_1=(-d,0),{\mathbf{\text{u}}}_2=(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d),{\mathbf{\text{u}}}_3=(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d),(1.3)$

${\mathbf{\text{v}}}_1=(d,0),{\mathbf{\text{v}}}_2=(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d),{\mathbf{\text{v}}}_3=(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d).(1.4)$

Перетворення Фур'є операторів народження та знищення

$a({\mathbf{\text{r}}}_i)=\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\tilde{a}(\mathbf{\text{k}}),b({\mathbf{\text{r}}}_i)=\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\tilde{b}(\mathbf{\text{k}}),(1.5)$

де інтегрирування по хвильовим векторам проводиться з першої зони Бріллюена, дозволяє записати гамільтоніан у вигляді

$H=\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{\tilde{\psi }}^{†}(\mathbf{\text{k}})\tilde{H}\tilde{\psi }(\mathbf{\text{k}}),(1.6)$

де прийняті такі позначення:

$\tilde{\psi }(\mathbf{\text{k}})={(\tilde{a}(\mathbf{\text{k}}),\tilde{b}(\mathbf{\text{k}}))}^T,{\tilde{\psi }}^{†}(\mathbf{\text{k}})=({\tilde{a}}^{†}(\mathbf{\text{k}}),{\tilde{b}}^{†}(\mathbf{\text{k}})),(1.7)$

та

$\tilde{H}=\left(\begin{array}{cc}0& -t\sum _{j=1}^3{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\\ -t\sum _{j=1}^3{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{v}}}_j}& 0\end{array}\right).(1.8)$

Вираз (1.6) можна отримати якщо підставити (1.5) в (1.1). Розглянемо суму

$\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_A}\sum _{j=1}^3{a}^{†}({\mathbf{\text{r}}}_i)b({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j),(1.9)$

яку, використавши співвідношення (1.5) можна записати у вигляді

$\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_A}\sum _{j=1}^3\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{e}^{-i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\widetilde{a†}(\mathbf{\text{k}})\underset{BZ}{\int }\frac{d^2{k}^{\text{'}}}{(2\pi {)}^2}{e}^{i{\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j)}\tilde{b}({\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}),(1.10)$

або

$\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}\widetilde{a†}(\mathbf{\text{k}})\underset{BZ}{\int }\frac{d^2{k}^{\text{'}}}{(2\pi {)}^2}\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_A}{e}^{-i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i+i{\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\sum _{j=1}^3{e}^{i{\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\tilde{b}({\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}).(1.11)$

Використавши співвідношення

$\sum _{i\in {\mathrm{\Lambda }}_A}{e}^{-i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i+i{\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}{\mathbf{\text{r}}}_i}=(2\pi {)}^2\delta ({\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}-\mathbf{\text{k}}),(1.12)$

знаходимо після інтегрування за ${\mathbf{\text{k}}}^{\text{'}}$ вираз

$\underset{BZ}{\int }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}\widetilde{a†}(\mathbf{\text{k}})\sum _{j=1}^3{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\tilde{b}(\mathbf{\text{k}}).(1.13)$

Аналогічне перетворення другої суми в гамільтоніані (1.1) приводить до бажаного результату (1.6).

Власне значення гамільтоніану (1.8) приймає значення

$E=\pm t\sqrt{\sum _{j=1}^3{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\sum _{j^{\text{'}}=1}^3{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{v}}}_{j^{\text{'}}}}}=\pm t\sqrt{(e^{-i{k}_{x}d}+2e^{i{k}_{x}d/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y)(e^{i{k}_{x}d}+2e^{-i{k}_{x}d/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y)}=$

$\pm t\sqrt{(1+2e^{i3k_{x}d/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y)(1+2e^{-i3k_{x}d/2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y)}=\pm t\sqrt{1+4\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{k}_{y}d\right)[\cos \left(\frac{3}{2}{k}_{x}d\right)+\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{k}_{y}d\right)]},(1.14)$

яке визначає зонну структуру графена.

Низькоенергетичне наближення

Зони (1.14) з додатною енергією (квазічастки — електрони) та з від'ємною енергією (квазічастки — дірки) перетинаються в шести точках, які називаються діраківськими точками, оскільки поблизу них енергетичний спектр приймає «лінійну» залежність від хвильового вектора. Координати цих точок рівні

$(0,\frac{4\pi }{3\sqrt{3}d}),(0,-\frac{4\pi }{3\sqrt{3}d}),(\frac{2\pi }{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}),(\frac{2\pi }{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}),(-\frac{2\pi }{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}),(-\frac{2\pi }{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}).(2.1)$

Дві незалежні долини можна вибрати так, що вершини валентних зон будуть знаходитися в діраковських точах з координатами

${\mathbf{\text{K}}}^{\pm }=(0,\pm \frac{4\pi }{3\sqrt{3}d}).(2.2)$

Розглянемо недіагональний елемент ^{${\tilde{H}}_{12}$} оператора Гамільтона (1.8). Разкладемо його поблизу точок Дірака (2.2) по малому параметру d

$\underset{d\to 0}{\lim }{d}^{-1}{\tilde{H}}_{12}{|}_{\mathbf{\text{k}}={\mathbf{\text{K}}}^{\pm }+\mathit{\kappa }}=-t\underset{d\to 0}{\lim }{d}^{-1}(e^{-i{\kappa }_{x}d}+2e^{i{\kappa }_{x}d/2}\cos \frac{\sqrt{3}d}{2}(\pm \frac{4\pi }{3\sqrt{3}d}+{\kappa }_y))=\frac{3t}{2}(i{\kappa }_x\pm {\kappa }_y).(2.3)$

Для ^{${\tilde{H}}_{21}$} розклад обчислюється аналогічним чином, тому в результаті можна записати гамільтоніан для квазічасток поблизу точок Дірака у вигляді

$\left(\begin{array}{cc}{H}^{+}& 0\\ 0& H^{-}\end{array}\right)=\hslash v_F({\alpha }^1{\kappa }_x+{\alpha }^2{\kappa }_y),(2.4)$

де швидкість Фермі $v_F=3td{\hslash }^{-1}/2$ та

${\alpha }^1=-\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^2& 0\\ 0& {\sigma }^2\end{array}\right),{\alpha }^2=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^1& 0\\ 0& -{\sigma }^1\end{array}\right).(2.5)$

Тут ^{${\sigma }^1$} та ^{${\sigma }^2$} — матриці Паулі.

Якщо тепер перейти до координатного представлення, зробивши фур'є перетворення гамільтоніану (2.4), то приходимо до гамільтоніану в рівнянні Дірака для квазічасток в графені

$H=-i\hslash v_F({\alpha }^1{\partial }_x+{\alpha }^2{\partial }_y).(2.6)$

Розв'язком рівняння Дірака для графену $H\psi =E\psi$ буде чотирьохкомпонентний стовбчик вигляду

$\psi =({\psi }_A^{+},{\psi }_B^{+},{\psi }_A^{-},{\psi }_B^{-}{)}^T,(2.7)$

де індекси ^$A$ та ^$B$ відповідають двом підрешіткам кристалу, а знаки «+» та «-» позначають нееквівалентні точки Дірака в k-просторі.

Довільне повертання системи координат

Оскільки закон дисперсії не повинен залежати в низькоенергетичному наближенні від орієнтації кристаличної решітки відносно системи координат, а рівняння Дірака для графена не має такої властивості, то виникає питання про загальний вигляд рівняння Дірака при повертанні системи координат. Ясно, що єдина відмінність між рівняннями Дірака в заданій системі координат та поверненій на кут $\alpha$ системі координат, при умові збереження закону дисперсії, полягає в добавлянні фазових факторів. Обчислення приводять до гамильтоніану для вільних часток вигляду

$H_{\pm }=-i\hslash v\left(\begin{array}{cc}0& e^{\pm i\alpha }(i{\partial }_x\pm {\partial }_y)\\ e^{\mp i\alpha }(-i{\partial }_x\pm {\partial }_y)& 0\end{array}\right),(3.1)$

з якого можна отримати всі рівняння, котрі використовуються в літературі (при умові вибору протилежних K точок).

В літературі зустрічається гамильтоніан у вигляді

$H_{\pm }=-i\hslash v\left(\begin{array}{cc}0& \pm {\partial }_x-i{\partial }_y\\ \pm {\partial }_x+i{\partial }_y& 0\end{array}\right),(3.2)$

який знаходиться з (3.1), коли кут повороту $\alpha =-\pi /2$.

Розв'язок рівняння Дірака

Розглянемо оператор Гамільтона для однієї долини

$H_{+}=-i\hslash v\left(\begin{array}{cc}0& i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\\ -i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& 0\end{array}\right).(4.1)$

Хвильова функція може буди подана у вигляді спінора, який складається з двох компонентів

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}\varphi \\ \chi \end{array}\right).(4.2)$

Ця функція задовольняє наступному рівнянню для вільних часток

$\{\begin{array}{cc}-i\hslash v(i\frac{\partial \chi }{\partial x}+\frac{\partial \chi }{\partial y})=E\varphi & \\ -i\hslash v(-i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial \varphi }{\partial y})=E\chi & \end{array}(4.3)$

Підставляючи друге рівняння в перше, знаходимо хвильове рівняння

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=-\frac{E^2}{{\hslash }^2{v}^2}\varphi ,(4.4)$

розв"язком якого буде плоска хвиля

$\varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.5)$

Власні значення мають вигляд лінійного неперервного спектру

$E=\pm \hslash v{k}_F=\pm \hslash v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.(4.6)$

Другу компоненту хвильової функції легко знайти підставивши знайдений розв'язок в друге рівняння (4.3)

$\chi =-i\frac{\hslash v(k_x+i{k}_y)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}=-i{e}^{i\theta }\frac{\hslash v{k}_F}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.7)$

Таким чином, хвильова функція для $K^{+}$ долини запишеться у вигляді

$\mathrm{\Psi }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i{e}^{i\theta }\frac{\hslash v{k}_F}{E}\end{array}\right)e^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.8)$