Плоский рух

Плоский рух — рух матеріальної точки в межах двовимірної площини. Загалом такий рух можна звести до суперпозиції поступального руху та обертання. Прикладом плоского руху може бути обертання планет навколо Сонця в площині екліптики.

В декартовій системі координат плоский рух описується залежністю від часу двох змінних $x(t)$ та $y(t)$. Ці дві залежності задають у параметричній формі траєкторію матеріальної точки.

Полярна система координат

Плоский рух можна розглядати в полярній системі координат.

Нехай $𝐫$ — це радіус-вектор з координатами $(r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$, де r і $\theta$ залежать від часу.

Використовуючи одиничні вектори

${\overline{e}}_r=(\cos (\theta ),\sin (\theta ))$

у напрямку $𝐫$, і

${\overline{e}}_{\theta }=(-\sin (\theta ),\cos (\theta ))$

під прямим кутом до $𝐫$, то перша і друга похідні положення будуть:

$\frac{d𝐫}{dt}=\dot{r}{\overline{e}}_r+r\dot{\theta }{\overline{e}}_{\theta },$

$\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\overline{e}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\overline{e}}_{\theta }=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\overline{e}}_r+\frac{1}{r}\dot{\overbrace{r^2\dot{\theta }}}{\overline{e}}_{\theta }$

Похідна $\dot{r}$ задає швидкість віддалення матеріальної точки від початку координат, а похідна $\dot{\theta }$ визначає кутову швидкість.

Відцентрова та коріолісова складові

Складова другої похідної $r{\dot{\theta }}^2$ називається відцентровою, а $2\dot{r}\dot{\theta }$ — коріолісовою. Вираз для другої похідної радіус-вектора, який містить ці члени, схожий на вирази для відцентрової та коріолісової сили, що діють у системах відліку, які обретаються. Слід зауважити, що математичному виразі немає жодного фізичного змісту. Фізика відцентрової та коріолісової сил проявляються у неінерційних системах відліку. Ці складові, які з'являються, коли прискорення виражається у полярних координатах, є математичним наслідком диференцюювання, тобто вони виникають у будь-якому випадку, якщо використовувати полярні координати. Так, ці складові виникають навіть якщо використовувати полярні координати в інерційних системах відліку, де ефект дії коріолісової сили ніколи не проявляється.

Коротаційна система відліку

Інерційна система відліку S та миттєва неінерційна коротаційна система відліку S' . Коротаційна система обертається з кутовою швидкістю Ω, яка дорівнює швидкості обертання частинки навколо початкового положення S' у момент часу t. Положення частинки визначаєть радіус-вектором r(t) та одиничними векторами, які зображені у радіальному напрямку до частинки відносно початкового положення та збільшення кута θ перпендикулярні до радіального напрямку. Ці одиничні вектори необов'язково повинні бути дотичними або перпендикулярними до траєкторії. Також відстань по радіусу r необов'язково пов'язана з радіусом кривизни траєкторії.

Для частинки, яка здійснює плоский рух, існує один підхід, який дає фізичне трактування відцентровій та коріолісовій складовій — це поняття коротаційної системи відліку. Щоб визначити таку систему, необхідно обрати систему, у якій визначена відстань r(t) до точки. Осі обертання обираються так, щоб вони були перпендикулярними до площини руху частинки і проходили через її початок. Тоді, у деякий момент часу t швидкість обертання коротаційної системи Ω обирається такою, щоб вона збігалася зі швидкістю обертання частинки dθ/dt навколо цієї осі. Далі, члени у прискоренні в інерційній системі відліку пов'язуються з тими, що у кортаційній системі. Нехай положення частинки в інерційний системі відліку визначається координатами (r(t), θ(t)), і у коротаційній (r(t), θ'(t)). Оскільки коротаційна система обертається з такою самою швидкістю, як і частинка, то dθ'/dt = 0. Уявна відцентрова сила у коротаційній системі mrΩ² радіально спрямована назовні. Швидкість частинки у коротаційній системі також радіально спрямована назовні, оскільки dθ'/dt = 0, і має величину −2m(dr/dt)Ω, спрямована у напрямку θ. Таким чином, підставивши ці сили до запису другого закону Ньютона, отримаємо:

$𝑭+{𝑭}_{𝒄𝒇}+{𝑭}_{𝑪𝒐𝒓}=m\ddot{𝒓},$

Крапочки над символом позначають диференціювання по часу. F — це сила, яка протидіє уявним силі Коріоліса та відцентровій силі. Розклавші ці рівняння на складові отримаємо:

$F_r+mr{\mathrm{\Omega }}^2=m\ddot{r}$

$F_{\theta }-2m\dot{r}\mathrm{\Omega }=mr\ddot{\theta },$

які можна порівняти з рівняннями в інерційній системі відліку:

$F_r=m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2$

$F_{\theta }=mr\ddot{\theta }+2m\dot{r}\dot{\theta }.$

Оскільки коротаційна система у момент часу t обертається зі швидкістю Ω = dθ/dt, то у поєднанні з цим порівнянням ми можемо пояснити члени у прискоренні (помножені на масу частинки), які знайдені в інерційній системі відліку, як від'ємні відцентрова та коріолісова сили. Їх можна розпізнати у миттєвій неінерційній коротаційній системі.

В загальному випадку криволінійного руху частинки (на противагу простому випадку руху по колу) відцентрова та коріолісова сили у пов'язаній з частинкою системі відліку відносяться до уявного кола, до якого дотична швидкість частинки в певний момент часу. Центр цього кола не обов'язково збігається з початком координат.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — Т. I. Механика. — 560 с.