Відстань між двома точками

Ві́дстань між двома́ то́чками — довжина уявного відрізка, кінцями якого є ці точки. Найкоротший шлях, яким можна дістатися з однієї точки в іншу.

Відстань в аналітичній геометрії

В аналітичній геометрії відстань між двома точками A(x₁, y₁) і B(x₂, y₂) на площині можна знайти за формулою

$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$, яка легко доводиться завдяки теоремі Піфагора.

Якщо позначити різницю (x₂ — x₁) як $\mathrm{\Delta }x$, а (y₂ — y₁) як $\mathrm{\Delta }y$, формула набуває вигляду:

$d=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$.

У тривимірному просторі відстань між точками знаходиться майже так само:

$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2+\mathrm{\Delta }{z}^2}$.

У n-мірному евклідовому просторі відстань між точками знаходиться за формулою

$d=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\dots +(p_n-q_n{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(p_i-q_i{)}^2}.$

Відстань у метричному просторі

В метричному просторі M відстань між двома точками $\rho (A,B)$ можна знайти за формулою $\rho (A,B)=\underset{\gamma (A,B)}{\inf }L(\gamma (A,B))$, де $\gamma (A,B)$ — будь-яка крива, що з'єднує точки A та B, а $L(\gamma (A,B))$ — довжина цієї кривої.

В повному метричному просторі завжди знайдеться крива, на якій досягається відстань між двома точками простору. Така крива називається найкоротшою. Найкоротших кривих може бути декілька.

Див. також

• Точка
• Відстань між точкою і прямою
• Відстань між прямими
• Довжина
• Відрізок
• Відстань

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія: Підруч. для 7—9 кл. серед. шк.— 3-тє вид.— К.: Освіта, 1998.— 115 с.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? Шаблон:Webarchive // «Популярные лекции по математике» Шаблон:Webarchive. — Шаблон:М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ