Рівноприскорений рух

Рівноприскорений рух — найпростіший вид механічного руху, при якому прискорення залишається сталим. Частковим випадком рівноприскореного руху є рівносповільнений рух, який відбувається тоді, коли напрямки початкової швидкості і прискорення протилежні^[1].

Прикладом такого руху є політ в однорідному полі сили тяжіння каменя, кинутого під кутом $α$ до горизонту за умови, що опором повітря можна знехтувати: камінь летить зі сталим прискоренням $\vec{a} = \vec{g}$ , спрямованим вертикально вниз.

Траєкторія має вигляд ділянки параболи або прямої.

Загальна формула:

\vec{a} = \frac{\vec{v} - {\vec{v}}_{0}}{t}

,

де $\vec{a}$ — прискорення (визначається в SI в м/с²), $\vec{v}$ — кінцева швидкість, ${\vec{v}}_{0}$ — початкова швидкість, $t$ — час.

Формули швидкості та шляху для прискореного руху:

1) при одновимірному рівноприскореному русі швидкість тіла змінюється з часом лінійно за законом:

\vec{v} = {\vec{v}}_{0} + \vec{a} t

;

2) формула координати тіла:

x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

;

3) формула проєкції переміщення:

s_{x} = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

;

4) формула проєкції переміщення, якщо $t$ невідомий:

s_{x} = \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 a}

Характер рівноприскореного руху

Рівноприскорений рух відбувається в площині, що містить вектори прискорення $\vec{a}$ і початкової швидкості ${\vec{v}}_{0}$ . З урахуванням того, що $\vec{v} = d \vec{r} / d t$ (тут $\vec{r}$ — радіус-вектор), траєкторію описує вираз

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + {\vec{v}}_{0} t + \frac{\vec{a} t^{2}}{2}

.

На заданому інтервалі часу вона являє собою ділянку параболи, яка за паралельності (тобто спів- або проти-спрямованості) векторів $\vec{a}$ і ${\vec{v}}_{0}$ перетворюється на відрізок прямої.

Для кожної з координат, скажімо $y$ , можна записати вирази аналогічної структури:

y (t) = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{a_{y} t^{2}}{2}

,

де $a_{y}$ — складова прискорення вздовж осі $y$ , а ${\vec{r}}_{0} = x_{0} \vec{i} + y_{0} \vec{j} + z_{0} \vec{k}$ — радіус-вектор матеріальної точки в момент $t = 0$ ( $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ — орти).

У прикладі з каменем $x_{0} = y_{0} = z_{0} = 0$ , компоненти прискорення $a_{x} = a_{z} = 0$ , $a_{y} = - g$ , початкова швидкість $v_{x 0} = v_{0} \cos α$ , $v_{y 0} = v_{0} \sin α$ , $v_{z 0} = 0$ , при цьому $x (t) = v_{0 x} t$ , а отже, $y = tg α \cdot x - g / 2 v_{0}^{2} \cos^{2} α \cdot x^{2}$ .

Переміщення і швидкість

У разі рівноприскореного руху будь-яка з компонент швидкості, наприклад $v_{x}$ , залежить від часу лінійно:

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

.

При цьому зв'язок між переміщенням ( $Δ x = x - x_{0}$ ) вздовж координати $x$ і швидкістю вздовж тієї ж координати такий:

Δ x = \frac{v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2}}{2 a_{x}}

.

Звідси можна отримати вираз для $x$ - складової кінцевої швидкості тіла за відомих $x$ -складових початкової швидкості і прискорення:

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

.

Якщо $a_{x} = 0$ , то $v_{x} = v_{o x}$ , а $Δ x = v_{0 x} t$ .

Вирази для зміщень $Δ y$ , $Δ z$ і компонент швидкості вздовж координат $y$ і $z$ набувають такого ж вигляду, як для $Δ x$ і $v_{x}$ , але символ $x$ усюди слід замінити на $y$ або $z$ .

У підсумку, за теоремою Піфагора, модуль переміщення буде

| Δ \vec{r} | = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}}

,

а модуль кінцевої швидкості знайдемо як

| \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

.

Рівноприскорений рух не може відбуватися необмежено довго: це означало б, що, починаючи з якогось моменту часу $t$ , модуль швидкості тіла $| \vec{v} |$ перевищить величину швидкості світла у вакуумі $c$ , що виключено теорією відносності.

Умова здійснення

Рівноприскорений рух реалізується, коли на тіло (матеріальну точку) діє стала сила $\vec{F}$ , зазвичай в однорідному гравітаційному або електростатичному полі, якщо величина швидкості тіла значно менша, ніж швидкість світла $c$ . Тоді, за другим законом Ньютона, прискорення буде

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m},

де через $m$ — маса тіла. У прикладі з каменем роль $\vec{F}$ відіграє сила тяжіння.

Якщо ж швидкість тіла порівнянна зі швидкістю світла, то закон Ньютона в наведеному вигляді непридатний. При цьому, в разі дії сталої сили, відбувається так званий релятивістський рівноприскорений рух, за якого сталим є тільки власне прискорення, а прискорення у фіксованій інерційній системі відліку наближається з часом до нуля в міру наближення величини швидкості до її межі $c$ .

Теорема про кінетичну енергію точки

Формула переміщення при рівноприскореному русі використовується для доведення теореми про кінетичну енергію. Для цього слід перенести прискорення в ліву частину і домножити обидві частини на масу тіла:

m a_{x} Δ x = \frac{m v_{x}^{2}}{2} - \frac{m v_{0 x}^{2}}{2}

.

Записавши аналогічні співвідношення для координат $y$ і $z$ і підсумувавши всі три рівності, отримаємо співвідношення:

\vec{F} \cdot Δ \vec{r} = \frac{m v^{2}}{2} - \frac{m v_{0}^{2}}{2}

.

Зліва стоїть робота сталої рівнодійної сили $\vec{F}$ , а праворуч — різниця кінетичних енергій у кінцевий і початковий моменти руху. Отримана формула являє собою математичний вираз теореми про кінетичну енергію точки для випадку рівноприскореного руху^[2].

Рівнозмінний рух

Рівнозмінним називають рух, за якого тангенціальна (паралельна швидкості) складова прискорення стала^[3]. Такий рух не є рівноприскореним, крім ситуації, коли він відбувається вздовж прямої, але в математичному плані його можна розглянути аналогічно.

У цьому випадку вводиться узагальнена координата $S$ , яку часто називають шляхом, що відповідає довжині пройденої траєкторії (довжині дуги кривої). Таким чином, формула набуває вигляду:

Δ S = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a_{τ}}

,

де $a_{τ}$ — тангенціальне прискорення, яке «відповідає» за зміну модуля швидкості тіла. Для швидкості маємо:

v = \pm \sqrt{v_{0}^{2} + 2 a_{τ} Δ S}

.

При $a_{τ} = 0$ маємо рух зі сталою за модулем швидкістю.

Іноді прикметник рівнозмінний замінюють на криволінійний равноприскорений, що вносить плутанину, оскільки, скажімо, рівноприскорений рух каменя по кривій (параболе) в поле тяжіння не рівнозмінний.

Див. також

Релятивістський рівноприскорений рух

Примітки

Шаблон:Примітки Шаблон:Бібліоінформація

↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Книга
↑ Див. Физический энциклопедический словарь — Шаблон:М.: Советская энциклопедия, под. ред. А. М. Прохорова (1983), стаття «Равнопеременное движение», стор. 602.

[1] Шаблон:Cite book

[2] Шаблон:Книга

[3] Див. Физический энциклопедический словарь — Шаблон:М.: Советская энциклопедия, под. ред. А. М. Прохорова (1983), стаття «Равнопеременное движение», стор. 602.

[1]

[2]

[3]

Рівноприскорений рух

Зміст

Характер рівноприскореного руху

Переміщення і швидкість

Умова здійснення

Теорема про кінетичну енергію точки

Рівнозмінний рух

Див. також

Примітки

Навігаційне меню

Рівноприскорений рух

Характер рівноприскореного руху

Переміщення і швидкість

Умова здійснення

Теорема про кінетичну енергію точки

Рівнозмінний рух

Див. також

Примітки

Навігаційне меню

Пошук