Обернення блочної матриці

Для квадратної матриці $M$, поділеної на блоки $A,B,C,D$ з розмірами n×n, n×k, k×n та k×k розміщеними таким чином:

$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

обернена матриця $M^{-1}$ може бути обчислена спрощеним способом, використавши блочну структуру матриці M.

Для цього використаємо квадратні матриці:

$S_D=A-B{D}^{-1}C$ — це доповнення Шура для блоку D матриці M.

$S_A=D-C{A}^{-1}B$ — це доповнення Шура для блоку A матриці M.

Отримаємо результат:

$M^{-1}={\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& -A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\\ -D^{-1}C(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{S}_D^{-1}& -A^{-1}B{S}_A^{-1}\\ -D^{-1}C{S}_D^{-1}& S_A^{-1}\end{array}\right].$

Доведення формули використовує матричну тотожнісь Вудбурі та LDU розклад матриці.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз