Лемніската

Лемніскати з трьома фіксованими фокусами.

Шаблон:UniboxЛемніска́та (від Шаблон:Lang-la) — плоска алгебрична крива порядку $2n$, у якій добуток відстаней від кожної точки до $n$ заданих точок (фокусів) сталий.

Етимологія

Назва «лемніската» походить від Шаблон:Lang-grc — стрічка, пов'язка. В Стародавній Греції «лемніскатою» називали бантик, за допомогою якого прикріплювали вінок до голови переможця спортивних ігор.

Приклади

• Лемніскатою з одним фокусом ($n=1$) є коло радіусу $r$, а з двома фокусами — овал Кассіні.
• Окремим випадком овалу Кассіні є лемніската Бернуллі, названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок вивченню лемніскат.

Рівняння

• Рівняння лемніскати на комплексній площині має вигляд

$|(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n)|=r^n,z=x+iy,r>0.$

Властивості

Довільну криву можна наблизити послідовністю лемніската. Зокрема, беручи різну кількість фокусів, розташовуючи їх по-різному і призначаючи ту чи іншу величину для добутку відстаней, можна отримувати лемніскати найхимерніших обрисів, наприклад, обриси людської голови або птиці.

Лемніската Бернуллі

Шаблон:Докладніше Лемніска́та Берну́ллі — крива, добуток відстаней кожної з точок якої до двох фокусів дорівнює квадрату половини відстані між фокусами. Ця лінія за формою нагадує вісімку. Автор цієї кривої, швейцарський математик Якоб Бернуллі, дав їй поетичну назву «лемніската». В античному Римі так називали бантик, за допомогою якого прикріплювали вінок до голови переможця у спортивних іграх.

Рівняння лемніскати Бернуллі

Рівняння лемніскати Бернуллі в прямокутних координатах: Шаблон:Center

Рівняння в полярних координатах: Шаблон:Center

Див. також

• Лемніската Бута
• Лемніската Бернуллі
• Овал Кассіні
• Плоска крива
• Алгебрична крива
• Дивний атрактор Лоренца
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Стала Гауса

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру Шаблон:Wayback
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru