Матриця Адамара

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах корегування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Недоведена гіпотеза Адамара стверджує, що матриця Адамара порядку 4k існує для кожного натурального числа k.

Властивості

H^{T} H = n I

\det H = \pm n^{n / 2}

.

Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

[\begin{matrix} H & H \\ H & - H \end{matrix}]

є матрицею Адамара порядку 2n.

H_{1} = [\begin{matrix} 1 \end{matrix}], H_{2} = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}], H_{4} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}], . . . H_{2^{k + 1}} = [\begin{matrix} H_{2^{k}} & H_{2^{k}} \\ H_{2^{k}} & - H_{2^{k}} \end{matrix}] = H_{2} \otimes H_{2^{k}},

де $k \in N$ , а $\otimes$ означає добуток Кронекера.

Зокрема,

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]

.

Такі матриці мають додаткові властивості:

Такі матриці, а також матриці з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

ще називаються матрицями Уолша.

W_{4} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix}]