Вписане коло

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синє), зовнішніми вписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін.

Аналогічно, вписане коло багатокутника — це найбільше коло, що розташоване всередині багатокутника, і яке дотикається до всіх його сторін.

Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентр також є точкою перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів.

Зовнівписане коло трикутника — це коло, що розташоване ззовні трикутника, і яке дотичне до однієї його сторони і продовжень двох інших сторін.

Зовнівписане коло багатокутника — це коло, що розташоване ззовні багатокутника, і яке дотикається до однієї його сторони і продовжень двох інших суміжних сторін.

Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентра

• Інцентр є першим центром, чудовою точкою трикутника х(1), у Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга.
• Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
• Інцентр ділить бісектрису кута $A$ у відношенні $\frac{b+c}{a}$, де $a$, $b$, $c$ — сторони трикутника.
• Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці $W$, то справедлива рівність: $WB=WC=WI=WO$, де $O$ — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони $BC$.
• Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром $I$ і центром описаного кола $O$ дорівнює $O{I}^2=R^2-2Rr$, де $R$ і $r$ — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Властивості вписаного кола

• У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.

В багатокутник можна вписати коло лише у випадку, коли всі бісектриси його внутрішніх кутів перетинаються в одній точці.

• Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів багатокутника.
• Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

де S — площа трикутника, а p — півпериметр.

• Якщо AB — основа рівнобедреного $\mathrm{△}ABC$, то коло, дотичне до сторін кута $\mathrm{\angle }ACB$ в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
• Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A₁ і B₁, то $A_1{B}_1=A_{1}B+A{B}_1$.
• Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T₁.
  • Бісектриси T є серединними перпендикулярами T₁.
  • Нехай T₂ — ортоцентричний трикутник T₁. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.
  • Нехай T₃ — серединний трикутник T₁. Тоді бісектриси T є висотами T₃.
  • Нехай T₄ — ортотрикутник T₃, тоді бісектриси T є бісектрисами T₄.
• Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює $\frac{a+b-c}{2}$.
• Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює $d=\frac{a+b-c}{2}=p-c$.
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола дорівнює $l_c=\frac{r}{\sin (\frac{\gamma }{2})}$, де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола може також бути знайдено за формулами $l_c=\sqrt{(p-c{)}^2+r^2}$ і $l_c=\sqrt{ab-4Rr}$
• Лема Верр'єра: нехай коло $V$ дотичне до сторін $AB$, $AC$ і дуги $BC$ описаного кола трикутника $ABC$. Тоді точки дотику кола $V$ зі сторонами і центр вписаного кола трикутника $ABC$ лежать на одній прямій.

Див. також

• Трикутник
• Коло
• Описане коло
• Зовнівписане коло
• Описаний багатокутник
• Теорема про рівні вписані кола