Двовимірні гіперкомплексні числа

Двовимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з однією уявною одиницею.

Тобто числа виду $a+bI,$ де $a,b$ — дійсні числа; $I$  — уявна одиниця.

Визначимо операції:

• $\overline{a+bI}\equiv a-bI$ — спряжене число,
• $\Vert z\Vert \equiv z\overline{z}=\overline{z}z=a^2-b^2{I}^2$ — норма числа,
• $\frac{z_1}{z_2}\equiv \frac{z_1\overline{z_2}}{\Vert z_2\Vert }$ — ділення чисел.

Формальне визначення

Двовимірні гіперкомплексі числа — двовимірні алгебри з одиницею над полем дійсних чисел.

Підвиди

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд $a+0I.$

• $(a_1+b_{1}I)+(a_2+b_{2}I)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)I$ — додавання,
• $(a_1+b_{1}I)\cdot (a_2+b_{2}I)=a_1{a}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)I+b_1{b}_2{I}^2$ — множення буде комутативним.

Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати $I^2.$

Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити: $I^2=p+qI,p,q\in ℝ.$

Розв'язуватимемо квадратне рівняння так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина: $(2I-q{)}^2=4p+q^2.$

В залежності від знака правої частини отримаємо: $\begin{array}{ccccccc}4p+q^2<0,& & 4p+q^2\equiv -k^2,& & i\equiv (2I-q)/k,& & i^2=-1;\\ 4p+q^2>0,& & 4p+q^2\equiv +k^2,& & j\equiv (2I-q)/k,& & j^2=+1;\\ 4p+q^2=0,& & & & ϵ\equiv 2I-q,& & {ϵ}^2=0.\end{array}$

Множення

Отже, в залежності від випадку, замінивши $I$ на одну з одиниць $i,j,ϵ$ отримаємо:

• $(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$ — комплексні числа,
• $(a_1+b_{1}j)(a_2+b_{2}j)=(a_1{a}_2+b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)j$ — подвійні числа,
• $(a_1+b_1ϵ)(a_2+b_2ϵ)=a_1{a}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)ϵ$ — дуальні числа.

Норма

• $\Vert a+bi\Vert =a^2+b^2,\Vert a+bj\Vert =a^2-b^2,\Vert a+bϵ\Vert =a^2.$

Для всіх підвидів виконується

• $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_2}\cdot \overline{z_1},$
• $\Vert z_1{z}_2\Vert =(z_1{z}_2)\overline{(z_1{z}_2)}=(z_1{z}_2)(\overline{z_2}\overline{z_1})=z_1(z_2\overline{z_2})\overline{z_1}=\Vert z_1\Vert \cdot \Vert z_2\Vert .$

Ділення

• $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ — дільників нуля немає;
• $\frac{a+bj}{c+dj}=\frac{(ac-bd)+(bc-ad)j}{c^2-d^2}$ — існують дільники нуля виду $c\pm cj;$
• $\frac{a+bϵ}{c+dϵ}=\frac{ac+(bc-ad)ϵ}{c^2}$ — існують дільники нуля виду $0+dϵ.$

Матричне представлення

Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2*2 яка є квадратним коренем $-I$, $+I$ та $O$ відповідно, і в неї нулі на головній діагоналі.

Зазвичай для $1,i,j$ вибирають одиничну матрицю, матрицю повороту на $\frac{\pi }{2}$ та матриці Паулі ${\sigma }_1$:

$1\mapsto \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],i\mapsto \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],j\mapsto \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],ϵ\mapsto \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

Відповідно:

$a+bi\mapsto \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right],a+bj\mapsto \left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right],a+bϵ\mapsto \left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right].$

Така відповідність задає ізоморфізм, якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.

В такому представлені:

• норма числа відповідає детермінанту матриці;
• спряження відповідає транспонуванню матриці.

Див. також

• Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников