Матриця Гурвіца

Матриця Гу́рвіца — структурована квадратна матриця, складена з коефіцієнтів дійсного многочлена.

Теорема Гурвіца — теорема, що встановлює умови, при дотриманні яких всі корені (нулі) дійсного многочлена $p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n} (a_{0} > 0, a_{n} \neq 0, n \geq 1) (1)$

розташовані строго в лівій комплексній півплощині, тобто мають від'ємні дійсні частини. Ця задача вперше була розв'язана в роботі Ш. Ерміта (1856), але залишилася невідомою, широкому колу фахівців. Повторно її сформулював Джеймс Максвелл (1868) і розв'язав Е. Раус (1877). Зручніший розв'язок тієї ж задачі незалежно від Е. Рауса знайшов А. Гурвіц (1895). В математичній і технічній літературі він отримав назву теореми (критерію) Гурвіца.

Теорема Гурвіца

Щоб усі корені дійсного многочлена (1) мали від'ємні дійсні частини, необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності $Δ_{1} > 0, Δ_{2} > 0, Δ_{3} > 0, \dots, Δ_{n} > 0, (2)$

Тут $Δ_{1} = a_{1}, Δ_{2} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} |,$ ,

$Δ_{3} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} |, \dots$ — послідовні головні мінори матриці

$H (p) = [\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7} & \dots & 0 \\ 1 & a_{2} & a_{4} & a_{6} & \dots & 0 \\ 0 & a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & 0 \\ 0 & 1 & a_{2} & a_{4} & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} & a_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix}]$

складеної з коефіцієнтів многочлена (1). Многочлен, що задовольняє приведеній теоремі, називають зазвичай многочленом Гурвіца, а мінори $Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{n}$ — визначниками Гурвіца. Теорему Гурвіца застосовують в математичній теорії стійкості і теорії автоматичного регулювання як критерії стійкості лінійних (лінеаризованих) систем.

Див. також

Визначник Гурвіца

Джерела

Шаблон:Math-stub

Матриця Гурвіца

Теорема Гурвіца

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук