Проєкційна матриця

Квадратна матриця $P$ з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується $P = P^{2} .$

Якщо виконується $P = P^{*} P,$ то матриця $P$ називається ортогонально-проєкційною.

Проєкційні матриці $P_{1}, P_{2}$ називаються ортогональними, якщо $P_{1} P_{2} = P_{2} P_{1} = 0 .$

З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

Властивості

Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:

P = P^{*} P \Rightarrow P^{*} = (P^{*} P)^{*} = P \Rightarrow P = P^{2} .

P^{n}, (I - P)^{n}, P^{*} \forall n \in ℕ

теж будуть проєкційними.

P^{n}, (I - P)^{n} \forall n \in ℕ

теж будуть ортогонально-проєкційними.

\forall x, y : P x ⊥ (I - P) y .

Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.

Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця

P_{u} = u u^{⊤} .

Довільна прямокутна матриця $A \in ℂ^{m \times n}$ вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:

P (A) = A^{+} A \in ℂ^{n \times n}

— проєктор в просторі

ℂ^{n}

A,

P (A^{*}) = A A^{+} \in ℂ^{m \times m}

— проєктор в просторі

ℂ^{m}

A .

Z (A) = I_{n} - P (A),

Z (A^{*}) = I_{m} - P (A^{*}) .

Для $P (A^{*}), Z (A^{*})$ ще використовують позначення $P_{A}^{∥}$ та $P_{A}^{⊥}$ відповідно.

A^{+}

Одинична матриця є проєктивною.
$P = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \Rightarrow P (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) .$
$P = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ α & 1 \end{matrix}] \Rightarrow P^{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ α & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 \\ α & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ α & 1 \end{matrix}] = P .$