Часткова похідна

Шаблон:Числення Часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції $f(x,y,\dots )$ від змінної $x$ може мати різні позначення:

$f{\text{'}}_x,f_x,{\partial }_{x}f,D_{x}f,D_{1}f,\frac{\partial }{\partial x}f,\text{ або }\frac{\partial f}{\partial x}.$

Іноді, для функції $z=f(x,y,\dots ),$ часткові похідні $z$ по $x$ позначають як $\frac{\partial z}{\partial x}.$ Оскільки часткова похідна взагалі має ті ж самі аргументи, що і початкова функція, то її функціональна залежність має явне позначення, таке як:

$f_x(x,y,\dots ),\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\dots ).$

Символ, яким позначають часткову похідну, — ∂. Це заокруглена форма літери d, що використовується для запису повної похідної. Перше використання цього символу приписують Марі Кондорсе — він використав цей символ для позначення часткових похідних у 1770 році. Сучасне позначення часткових похідних було запропоноване Лежандром у 1786 році, хоча згодом він відмовився від нього. Повторно використання символу запровадив у своїх працях Карл Якобі починаючи з 1841 року.

Означення

Шаблон:Multiple image Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

$f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

$f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,

$x\mapsto f_x,$

$f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x, y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

$f_a(y)=a^2+ay+y^2.$

В цьому виразі, a — константа, а не змінна, отже f_a — функція від одного дійсного аргументу — y. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:

${f_a}^{\prime }(y)=a+2y.$

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y.$

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,…,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,…,a_n) записують так:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_n)}{h}.$

У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім x_i, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індексу a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x₁,…x_n) в евклідовому просторі Rⁿ (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂x_j по кожній змінній x_j. У точці a ці часткові похідні визначають вектор

$\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)).$

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функція ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Геометрія

Об'єм конуса залежить від висоти та радіусу.

Об'єм конуса V залежить від висоти h та радіусу r за формулою

$V(r,h)=\frac{\pi r^{2}h}{3}.$

Часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3}.$

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті.

Часткова похідна за висотою h

$\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}{3}$

показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти, коли радіус є сталим.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

$\frac{dV}{dr}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}\frac{dh}{dr}$

та

$\frac{dV}{dh}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}\frac{dr}{dh}$

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом буде сталим числом k:

$k=\frac{h}{r}=\frac{dh}{dr}.$

Це дає повну похідну:

$\frac{dV}{dr}=\frac{2\pi rh}{3}+\frac{\pi r^2}{3}k$

яка спрощується до:

$\frac{dV}{dr}=k\pi r^2.$

Аналогічно, повна похідна по h буде:

$\frac{dV}{dh}=\pi r^2.$

Повна похідна відносно обох змінних r та h від об'єму, як від скалярної функції цих двох змінних, задається вектором градієнта

$\mathrm{\nabla }V=(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h})=(\frac{2}{3}\pi rh,\frac{1}{3}\pi r^2)$.

Термодинаміка і математична фізика

Часткові похідні застосовуються в рівняннях термодинаміки, таких як Шаблон:Нп, а також в інших рівняннях математичної фізики.

Масштабування зображення

Часткові похідні є одним із ключовим елементів в алгоритмах масштабування зображень до бажаного розміру. Широко відомий алгоритм, який називається Шаблон:Lang-en, потребує аби кожному пікселю зображення було приписане деяке числове значення 'енергії', яке описує їх відмінність від ортогонально суміжних пікселів. Алгоритм поступово убирає рядки або стовпці з найменшою енергією. Формула, що обирається для визначення енергії пікселя (величина градієнта в пікселі) здебільшого використовує для побудови часткові похідні.

Нотація

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f.$

Часткові похідні другого порядку:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx}={\partial }_{xx}f.$

Мішані похідні другого порядку:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{xy}={\partial }_{xy}f.$

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

$\frac{{\partial }^{i+j+k}f}{\partial x^i\partial y^j\partial z^k}=f^{(i,j,k)}.$

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}.$

Формальне означення та властивості

Як і звичайні похідні, часткова похідна позначається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rⁿ та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a₁, …, a_n) ∈ U за i-ю змінною x_i є

$\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐚)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_n)}{h}$

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂x_i(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U → R^m), по компонентам вибираючи аргумент.

Часткову похідну $\frac{\partial f}{\partial x}$ можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}.$

Див. також

• Мішана похідна
• Теорема Клеро — Шварца

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1