Потенціальне векторне поле

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.

---

Нехай у $n$-вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат $u^1,u^2,\dots u^n$ і потенціальне векторне поле $𝐚$ з коваріантними координатами $a_i$, яке представляється градієнтом скалярного потенціалу $\varphi =\varphi (u^1,u^2,\dots u^n)$:

$(1)a_i={\mathrm{\nabla }}_i\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial u^i}$

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

$(2)(\text{rot}𝐚{)}_{ij}={\mathrm{\nabla }}_i{a}_j-{\mathrm{\nabla }}_j{a}_i=0$

Необхідність

Якщо поле $𝐚$ потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

$(2)(\text{rot}𝐚{)}_{ij}=({\partial }_i{a}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k)-({\partial }_j{a}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k{a}_k)={\partial }_i{a}_j-{\partial }_j{a}_i=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial u^i\partial u^j}-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial u^j\partial u^i}$

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.

Достатність

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр $\varphi$, щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву $L$, яка сполучає дві фіксовані точки $P$ і $Q$. Криволінійний інтеграл $\mathrm{\Phi }$ є функціоналом від кривої $L$:

$(3)\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(L)=\underset{L}{\int }{a}_{i}d{u}^i$

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

$(4)\delta \mathrm{\Phi }=\int \sum _{i<j}(\text{rot}𝐚{)}_{ji}d{\sigma }^{ij}=0$

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої $P$ і $Q$). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої $L$:

$(5)\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(P,Q)$

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат $O$, тоді ми матимемо таке скалярне поле:

$(6)\varphi =\varphi (P)=\mathrm{\Phi }(O,P)$

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює $𝐚$.
Розглянемо дві близькі точки $P$ і $\tilde{P}$. Проведемо з початку координат криву $L$ до точки $P$, а потім продовжимо цю криву коротким відрізком $\mathrm{\Delta }L$, що іде від точки $P$ до точки $P^{\prime }$. Продовжена крива $\tilde{L}=L+\mathrm{\Delta }L$ сполучає початок координат з точкою $\tilde{P}$. Отже:

$(7)\varphi (\tilde{P})=\mathrm{\Phi }(O,P)+\mathrm{\Phi }(P,\tilde{P})=\varphi (P)+\underset{\mathrm{\Delta }L}{\int }{a}_{i}d{u}^i$

і ми можемо записати приріст функції $\varphi$ через інтеграл по відрізку:

$(8)\mathrm{\Delta }\varphi =\underset{\mathrm{\Delta }L}{\int }\sum _{i=1}^n{a}_{i}d{u}^i$

Розглянемо координати точки $P=(u^1,u^2,\dots u^n)$. Нехай точка $\tilde{P}$ відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою $\tilde{P}=(u^1+\mathrm{\Delta }{u}^1,u^2,\dots u^n)$, а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати $d{u}^1$ і ми одержимо простий визначений інтеграл

$(9)\mathrm{\Delta }\varphi =\underset{u^1}{\overset{u^1+\mathrm{\Delta }{u}^1}{\int }}{a}_{1}d{u}^1\approx a_1\mathrm{\Delta }{u}^1$

Поділивши асимптотичну рівність (9) на $\mathrm{\Delta }{u}^1$ і переходячи до границі, маємо:

$(10)\frac{\partial \varphi }{\partial u^1}=a_1$

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• А. Д. Тевяшев, О. Г. Литвин, Г. М. Кривошеєва, Л. В. Обухова, О. Г. Середа [Вища математика у прикладах та задачах.] Частина 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Стор. 263. Харків:2002.
• Академія наук Української РСР. Фізико-математичні та технічні науки. Серія А. Випуски 1—6. Стор. 49-50. Київ:«Наукова думка», 1990.