Оператори народження та знищення

Шаблон:Фізична теорія Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення $\hat{a}$ відповідає оператор народження ${\hat{a}}^{†}$.

Ферміони

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан $|0⟩$, який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією $\psi$:

${\hat{a}}^{†}|0⟩=|\psi ⟩$.

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки $|\psi ⟩$, знищує частинку, переводячи систему в стан $|0⟩$.

$\hat{a}|\psi ⟩=|0⟩$.

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

$\hat{a}|0⟩=0$.

Відповідно, дія оператора народження на стан $|\psi ⟩$, теж дає нуль.

${\hat{a}}^{†}|\psi ⟩=0$.

Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню

${\hat{a}}^{†}\hat{a}+\hat{a}{\hat{a}}^{†}=1$.

Оператор числа частинок задається виразом

$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$.

Вочевидь

$\hat{N}|0⟩=0;\hat{N}|\psi ⟩=1|\psi ⟩.$

Різні стани

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис ${\psi }_n=|n⟩$. Оператори народження й знищення ${\hat{a}}_n^{†}$ і ${\hat{a}}_n$ для різних станів комутують між собою.

${\hat{a}}_n^{†}{\hat{a}}_{n^{\prime }}-{\hat{a}}_{n^{\prime }}{\hat{a}}_n^{†}=0$ при $n\ne n^{\prime }$.

Будь-який квантовомеханічний оператор $\hat{A}$ можна записати у вигляді

$\hat{A}=\sum _{n,n^{\prime }}{A}_{n,n^{\prime }}{\hat{a}}_n^{†}{\hat{a}}_{n^{\prime }}$,

де

$A_{n,n^{\prime }}=⟨n|\hat{A}|n^{\prime }⟩$ — матричний елемент оператора.

Гамільтоніан

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану ${\hat{H}}_0$:

${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$.

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

$\hat{H}=\sum _n{E}_n{\hat{a}}_n^{†}{\hat{a}}_n+\sum _{n,n^{\prime }}{V}_{n,n^{\prime }}{\hat{a}}_n^{†}{\hat{a}}_{n^{\prime }}$

Бозони

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану $|n⟩$ можна ввести оператор кількості частинок $\hat{N}$, виходячи із співвідношення

$\hat{N}|n⟩=n|n⟩$.

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

$\hat{N}=a^{†}a$.

Нульовий (вакуумний) стан $|0⟩$ відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

$a^{†}|0⟩=|1⟩$.

Відповідно, $a|1⟩=|0⟩$.

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

$[a,a^{†}]=a{a}^{†}-a^{†}a=1$.

Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

$\hat{H}=\sum _{𝐤}\hslash {\omega }_{𝐤}(a_{𝐤}^{†}{a}_{𝐤}+\frac{1}{2})$,

де $\hslash$ — зведена стала Планка, $𝐤$ — хвильовий вектор, ${\omega }_{𝐤}$ — частота хвилі з хвильовим вектором $𝐤$. Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга