Рівняння Ейлера

Рівняння Ейлера описує потік ідеальної рідини.

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p$,

де $𝐯$ — швидкість рідини, ρ — її густина, p — тиск.

Ідеальною рідиною називається рідина, для якої неістотні процеси теплопровідності й в'язкості.

У випадку дії масових сил, наприклад, для рідини в полі тяжіння, рівняння Ейлера записується

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+𝐠$,

де $𝐠$ — прискорення вільного падіння.

Інші форми запису

Після певних перетворень рівняння Ейлера можна переписати в інших формах, які можуть бути зручними для певних випадків.

Враховуючи, що рівняння Ейлера описує адіабатний рух рідини, можна записати

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)=-\mathrm{\nabla }w$,

де w — ентальпія рідини.

Ще одна форма запису виділяє в рівнянні Ейлера вихор

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}-[𝐯\times \text{rot}𝐯]=-\mathrm{\nabla }(w+\frac{v^2}{2})$.

В наступній формі запису використовується тільки вектор швидкості

$\frac{\partial }{\partial t}\text{rot}𝐯=\text{rot}[𝐯\times \text{rot}𝐯]$.

Рівняння неперервності

Для знаходження розподілу густини, швидкості та тиску в рідині (разом 5 невідомих) рівняння Ейлера слід доповнити рівнянням для густини та рівнянням для ентропії.

Для густини — це рівняння неперервності

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\text{div}\rho 𝐯=0.$.

Величина $\rho 𝐯$ називається потоком рідини.

Рівняння для ентропії:

$\frac{\partial (\rho s)}{\partial t}+\text{div}(\rho s𝐯)=0.$.

Із врахуванням рівняння Ейлера рівнянь кількість рівнянь (5) дорівнює кількості змінних.

Граничні умови

Рівняння Ейлера потрібно доповнити граничними умовами на поверхнях, де рідина стикається з твердою речовиною. Оскільки рідина не може проникнути в тверде тіло, то на поверхні нормальна складова її швидкості обов'язково повинна бути нульовою.

$v_n=𝐯\cdot 𝐧=0$,

де $𝐧$ — орт нормалі до поверхні.

На границі розділу двох рідин, які не змішуються, неперервними є тиск і нормальна складова швидкості.

Див. також

• Рівняння Нав'є-Стокса — загальні рівняння, які описують течію рідини чи газу з урахуванням в'язкості та передачі тепла.
• Формула Ейлера
• Формула Ейлера — Маклорена

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite book, 516 с.
• Шаблон:Cite book