Дивергенція (математика)

Шаблон:Otheruses Шаблон:Числення Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією $\mathrm{div}𝐅$ векторного поля $𝐅$ в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню $S$, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

$\mathrm{div}𝐅=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{{\oint }_S𝐅𝐧dS}{V}.$

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

$\mathrm{div}𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅,$

де $\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$ — оператор Гамільтона

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

• Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полів $𝐅$, $𝐆$ та будь-яких чисел $a$, $b$ справедливий наступний вираз:

$\mathrm{div}(a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{div}(𝐅)+b\mathrm{div}(𝐆).$

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля $\phi$ на векторне $𝐅$:

$\mathrm{div}(\phi 𝐅)=\mathrm{grad}(\phi )\cdot 𝐅+\phi \mathrm{div}(𝐅)$

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

$\mathrm{div}(𝐅\times 𝐆)=\mathrm{rot}(𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot \mathrm{rot}(𝐆).$

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}(\phi ))=\mathrm{\Delta }\phi .$

• Дивергенція ротора тотожно дорівнює нулю:

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}(𝐅))=0.$

Див. також

• Дивергентна границя (в геології)

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2