Градієнт

Операція градієнта перетворює пагорб (ліворуч), якщо дивитися на нього зверху, на поле векторів (праворуч). Видно, що вектори спрямовані «вгору», і чим крутіший нахил, тим вони довші.

Градіє́нт, ґрадіє́нт — міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.

Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона $\mathrm{\nabla }$, або оператор $\mathrm{grad}$.

Математичне формулювання

Градієнт, як завжди вважають, — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

Для скалярного поля $U(x,y,z)$ градієнт визначається формулою

$\mathrm{\nabla }U=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}U=\frac{\partial U}{\partial x}𝐢+\frac{\partial U}{\partial y}𝐣+\frac{\partial U}{\partial z}𝐤$

де $𝐢$, $𝐣$, $𝐤$ — орти системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

$\mathrm{\nabla }U=\sum _i\frac{\partial U}{\partial x_i}{𝐞}_i$.

Приклади

Градієнт скалярного поля

Градієнт скалярного поля — вектор, проєкціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

Градієнт тиску

Градієнт тиску — втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).

Градієнт метановості вугільних шахт

Градієнт метановості вугільних шахт — приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м³/т при заглибленні на 1 або 100 м.

Див. також

• Градієнтометр гравітаційний
• Градієнтометр магнітний
• Градієнтний спуск
• Градієнт температури
• Градієнт тиску (нафтогазовидобування)

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Градієнт, стр. 143 — М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.
• Шаблон:МГЕ

Посилання

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MathWorld