Ермітова матриця

Квадратна матриця $A$ з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

A = A^{*}

(у фізичній нотації:

A = A^{†}

).

Це еквівалентно до системи рівнянь $a_{i j} = \overline{a_{j i}}$ для елементів матриці $A .$

Властивості

Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
Визначник ермітової матриці — дійсне число.
Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( $A B = B A$ ).
Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою.
Жорданова форма ермітової матриці діагональна.

Частковими випадками ермітових матриць є:

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

A = H_{1} + i H_{2}, H_{1} = \frac{A + A^{*}}{2}, H_{2} = \frac{A - A^{*}}{2 i},

де:

H_{1}^{*} = H_{1}, H_{2}^{*} = H_{2}

— ермітові матриці,

{(i H_{2})}^{*} = - (i H_{2})

— антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця $A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $H_{1}, H_{2}$ переставні:

A^{*} A = A A^{*} ⟺ H_{1} H_{2} = H_{2} H_{1} .

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 - 3 i \\ 2 + 3 i & 4 \end{matrix}]$ — ермітова матриця $2 \times 2$ тому, що

$A^{*} = [\begin{matrix} 1 & 2 - 3 i \\ 2 + 3 i & 4 \end{matrix}] = A,$

або $1 = \bar{1}, 4 = \bar{4}, 2 - 3 i = \overline{2 + 3 i} .$