Індекс Коші

Індекс Коші — в математичному аналізі це ціле число асоційоване з раціональною функцією на проміжку з її області визначення.

Використовується зокрема в теоремі Рауса — Гурвіца, яка знаходить кількість коренів в лівій і правій половинах комплексної площини.

Означення

• Індекс Коші початково був означений Коші в 1837 для полюса s раціональної функції r використовуючи односторонні границі як:

$I_{s}r=\{\begin{array}{cc}+1,& \underset{x\uparrow s}{\lim }r(x)=-\mathrm{\infty }\wedge \underset{x\downarrow s}{\lim }r(x)=+\mathrm{\infty },\\ -1,& \underset{x\uparrow s}{\lim }r(x)=+\mathrm{\infty }\wedge \underset{x\downarrow s}{\lim }r(x)=-\mathrm{\infty },\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$

• Узагальнення для відрізку [a,b] досить просте (якщо ні a ні b не є полюсами r(x)): це сума індексів Коші $I_s$ для r для кожного полюса s на відрізку. Позначається $I_a^{b}r$.
• Можна узагальнити для проміжків виду $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ оскільки кількість полюсів r є скінченною (обчислюючи границю індексу Коші для [a,b] при прямуванні a та b до нескінченності).

Приклад

Деяка раціональна функція

• Розглянемо раціональну функцію:

$r(x)=\frac{4x^3-3x}{16x^5-20x^3+5x}=\frac{p(x)}{q(x)}.$

Де p(x) та q(x) відповідно поліноми Чебишова степенів 3 та 5. Тоді, r(x) має полюси $x_1=0.9511,x_2=0.5878,x_3=0,x_4=-0.5878$ та $x_5=-0.9511$, тобто $x_j=\cos ((2i-1)\pi /2n)$ для $j=1,...,5$.

З графіку функції бачимо, що $I_{x_1}r=I_{x_2}r=1$ та $I_{x_4}r=I_{x_5}r=-1$. Для полюсу в нулі, маємо $I_{x_3}r=0$ оскільки ліва і права границі рівні (оскільки p(x) теж має нульовий корінь). Отже $I_{-1}^{1}r=0=I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r$ оскільки q(x) має лише 5 коренів, і усі в [−1,1].

Ми не можемо використати тут теорему Рауса-Гурвіца, оскільки комплексний многочлен f(iy) = q(y) + ip(y) має корені на уявній осі (в початку координат).

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць