Теорема Філіпса

Теорема Філіпса — є узагальненням теореми Гамільтона — Келі.

Теорема

Для заданих квадратних матриць $A_0,\dots ,A_m$ порядку $n$ та скалярного многочлена $g({\xi }_0,\dots ,{\xi }_m)=|A_0{\xi }_0+\dots +A_m{\xi }_m|$, довільні попарно переставні квадратні матриці $X_0,\dots ,X_m$ порядку $n$ для яких виконується $A_0{X}_0+\dots +A_m{X}_m=0$, задовольняють матричне рівняння:

$g(X_0,\dots ,X_m)=0$.

Доведення

Доведення теореми аналогічне доведенню теореми Гамільтона — Келі. Потрібно використати союзну матрицю до матриці многочленів

$A({\xi }_0,\dots ,{\xi }_m)=A_0{\xi }_0+\dots +A_m{\xi }_m$.

Частковий випадок

Як матриці $X_0,\dots ,X_m$ можна використати степені $X^m,X^{m-1},\dots ,X,I$ деякої квадратної матриці $X$, яка є розв'язком матричного рівняння:

$A_0{X}^m+A_1{X}^{m-1}+\dots +A_{m-1}X+A_m=0$.

Див. також

• Анулюючий многочлен

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць