Підготовча теорема Веєрштрасса

У математиці підготовча теорема Веєрштрасса є важливим твердженням про властивості голоморфних функцій багатьох комплексних змінних в околі деякої точки P. Згідно теореми кожна така функція є добутком функції, що не дорівнює нулю в P, і многочлена по одній фіксованій змінній z, старший коефіцієнт якого є рівним одиниці, а коефіцієнти членів нижчого степеня є голоморфними функціями решти змінних і дорівнюють нулю в точці P. До того ж і функція і многочлен (який називається многочленом Веєрштрасса) визначені однозначно.

Пов’язаним результатом є теорема Веєрштрасса про ділення, яка стверджує, що якщо f і g є голоморфними функціями, а g є многочленом Веєрштрассса степеня N ', то існує однозначно визначена пара h і j для якої f = gh + j, де j є многочленом степеня менше ніж N.

Теореми є фактично еквівалентними. Більшість авторів доводять підготовча теорему Веєрштрасса як наслідок теореми про ділення, хоч також можна довести теорему про ділення з підготовчої теореми підготовки.

Існує також кілька варіантів теореми, які розширюють ідею факторизації в якомусь кільці R як u·w, де u — оборотний елемент, а w — якийсь специфічний многочлен Веєрштрасса.

Твердження теорем

Для голоморфної функції f(z) однієї змінної в околі точки 0 можна записати z^kh(z), де h(0) не дорівнює 0, а k є кратністю f у точці 0. Підготовча теорема узагальнює цей результат на випадок багатьох комплексних змінних.

Нехай z позначає одну із комплексних змінних, а загалом усі змінні позначаються як (z, z₂, ..., z_n).

Многочленом Веєрштрасса W(z) щодо змінної z у точці 0 називається вираз

z^k + g_k−1z^{k− 1} + ... + g₀

де g_i(z₂, ..., z_n ) є голоморфними і g_i(0, ..., 0) = 0.

Голоморфна функція :f(z, z₂, ..., z_n) називається загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0), якщо

f(z, ...,0) = a_k z^k + a_k+1 z^k+1 + ...

Підготовча теорема Веєрштрасса стверджує, що для голоморфної функції f, яка є загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0)

локально поблизу (0, ..., 0) можна записати

f(z, z₂, ..., z_n) = W(z)h(z, z₂, ..., z_n)

де h є голоморфною функцією для якої h(0, ..., 0) не є рівною 0, і W є многочленом Веєрштрасса.

Безпосереднім наслідком теореми є факт, що множина розв'язків рівняння f = 0, поблизу точки (0, ..., 0), можна знайти шляхом фіксації будь-яких малих значень z₂ , ..., z_n і розв’язування поліноміального рівняння W(z)=0. Відповідні значення z утворюють неперервні гілки, кількість яких дорівнює степеню W щодо змінної z. Зокрема f не може мати ізольованого нуля.

Теорема Веєрштрасса про ділення стверджує, що якщо g і f є голоморфними функціями від n змінних і f є загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0), то в околі (0, ..., 0) можна однозначно записати:

g = fh + j,

де h є голоморфною в околі точки (0, ..., 0), а j є многочленом щодо змінної z степеня меншого k коефіцієнти якого є голоморфними функціями змінних (z₂, ..., z_n). Іншими словами j є голоморфною функцією в околі точки (0, ..., 0) розклад якої у ряд Тейлора містить степені z не вищі, ніж k - 1.

Теореми використовуються для дослідження множини розв'язків f (z, z₂, ..., z_n) = 0 в околі деякої точки P, яка теж є розв'язком рівняння: f (P) = 0. Для можливості застосування теорем Веєрштрасса потрібно спершу перенести координатну систему, так щоб у точці P був початок координат. Тоді порядок функції f у цій точці (найменший сумарний степінь із ненульовим коефіцієнтом у розкладі функції в ряд Тейлора) є більшим нуля. Якщо функція f має порядок k у точці (0, ..., 0) то існує перетворення координат z = y, z_i = y_{i +} c_iy_n = після якого функція у координатах (y, y₂, ..., y_n) стає загальною порядку k у точці (0, ..., 0) щодо змінної y.

Відповідно попри додаткові вимоги, які накладаються на функції у теоремах їх, після нескладних перетворень координат, можна застосовувати для вивчення нулів голоморфної функції в околі довільної такої точки.

Доведення

Доведення підготовчої теореми із теореми про ділення

Нехай $f(z,z_2,...,z_n)$ є голоморфною функцією, що є загальною щодо змінної $z$ порядку $k$ і $g:=z^k.$ Тоді із теореми про ділення: $z^k=qf+j$, де $q$ є голоморфною в деякому околі і також можна записати:

$j(z,z_2,\dots ,z_n)=\sum _{i=1}^k{b}_i(z_2,\dots ,z_n)z^{k-i}$, де $b_i$ є голоморфними від n - 1 змінної у деякому околі.

Якщо $z_2=0,\dots ,z_n=0,$ то звідси:

$h(z,0,\dots ,0)(c{z}^k+\dots )=z^k-\sum _{i=1}^k{b}_i(0,\dots ,0)z^{k-i}$, де $c\ne 0.$

Розписуючи $h(z,0,\dots ,0)$ у ряд Тейлора за степенями $z$ і прирівнюючи значення при різних степенях цієї змінної, одержується, що $h(0,\dots ,0)=\frac{1}{c}\ne 0$ і $b_i(0,\dots ,0)=0.$

Отож для $q$ у деякому околі точки (0, ..., 0) існує обернена функція $h(z,z_2,\dots ,z_n)=q^{-1}(z,z_2,\dots ,z_n)$, а $W(z)=z^k-{\sum }_{i=1}^k{b}_i(z_2,\dots ,z_n)z^{k-i}$ є многочленом Ваєрштраса. Тоді $f=hW$ і є розкладом функції у добуток, що завершує доведення існування у підготовчій теоремі.

Нехай $f=h_1{W}_1=h_2{W}_2$ є двома розкладами із підготовчої теореми у деякому околі точки (0, ..., 0). Тоді $h_1,h_2$ є оборотними у цьому околі, а $W_1=z^k-j_1,W_2=z^k-j_2,$ де $j_1,j_2$ є многочленами щодо змінної $z$ степеня меншого $k$ коефіцієнти якого є голоморфними функціями змінних $(z_2,\dots ,z_n)$. Тоді $z^k=h_1^{-1}f+j_1=h_2^{-1}f+j_2$ і з твердження про єдиність у теоремі про ділення випливає, що $h_1^{-1}=h_2^{-1}$ і $j_1=j_2.$ Звідси також $h_1=h_2$ і $W_1=W_2,$ що завершує доведення єдиності розкладу у твердженні підготовчої теореми.

Доведення теореми про ділення

Існування

Функцію $f$, яка є голоморфною в деякому околі точки (0, ..., 0) у околі цієї точки можна записати як ряд Тейлора у виді:

$f(z,z_2,\dots ,z_n)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i(z_2,\dots ,z_n)z^i$

де функції $f_i$ є голоморфними в деякому (одному для всіх) околі точки (0, ..., 0) (у просторі ${ℂ}^{n-1}$).

Позначимо $\hat{f}:={\sum }_{i=0}^{k-1}{f}_i{z}^i,\tilde{f}:={\sum }_{i=k}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{z}^{i-k}.$ Тоді $f=\hat{f}+z^k\tilde{f}$ і $\tilde{f}$ є оборотною у деякому околі точки (0, ..., 0).

Нехай $r=(r_1,\dots ,r_n)$ — мультирадіус такий, що функції $f,g$ є голоморфними у околі, що містить замкнутий полікруг $B_r:=\{(z,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z|⩽r_1,z_i⩽r_i\}$, а функція $\tilde{f}$ є голоморфною і оборотною у цьому полікрузі. Позначимо також $r^{\prime }=(r_2,\dots ,r_n)$ — мультирадіус для $n-1$ змінної.

На просторі функцій голоморфних у деякому околі, що містить $B_r$ можна ввести норму $\Vert \cdot {\Vert }_r$: для функції $F(Z)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{Z}^{\alpha }$ за означенням

$\Vert F{\Vert }_r=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}|a_{\alpha }|r^{\alpha }.$

Тут використані позначення $Z=(z,z_2,\dots ,z_n),$ $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ — мультиіндекс, $Z^{\alpha }:=z^{{\alpha }_1}{z}_2^{{\alpha }_2}\cdot \dots \cdot z_n^{{\alpha }_n}$ і $r^{\alpha }=r_1^{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot r_n^{{\alpha }_n}.$

Тоді для таких означень і норми: $\Vert f{\Vert }_r=\Vert \hat{f}{\Vert }_r+r_1^k\Vert \tilde{f}{\Vert }_r$ і звідси $\Vert \tilde{f}{\Vert }_r⩽r_1^{-k}\Vert f{\Vert }_r.$

Функція $q:=x^k-f{\tilde{f}}^{-1}=-\hat{f}{\tilde{f}}^{-1}$ і відповідні функції $\hat{q},\tilde{q}$ (означення яких є аналогічними як для функції $f$ вище) є голоморфними в околі, що містить $B_r$. Окрім того для будь-якого $0<\epsilon <1$ можна обрати $r$ так щоб $\Vert q{\Vert }_r⩽\epsilon r_1^k.$

Справді записавши:

$q=\hat{q}+z^k\tilde{q}=\sum _{i=0}^{k-1}{q}_i{z}^i+z^k\tilde{q}$

із означення $q$ випливає, що $q_i(0,\dots ,0)=\tilde{q}(0,\dots ,0)=0.$ Звідси $r_1$ і потім $r^{\prime }$ можна обрати настільки малими щоб водночас $\Vert \tilde{q}{\Vert }_r⩽\epsilon /2$ і звідси $\Vert z^k\tilde{q}{\Vert }_r⩽r_1^k\epsilon /2$, а також $\Vert q_i{\Vert }_{r^{\text{'}}}⩽r_1^{k-i}\frac{\epsilon }{2}$

Звідси

$\Vert q{\Vert }_r={\Vert \sum _{i=0}^{k-1}{q}_i{z}^i+z^k\tilde{q}\Vert }_r⩽\sum _{i=0}^{k-1}\Vert q_i{\Vert }_{r^{\prime }}{r}_1^i+\Vert z^k\tilde{q}{\Vert }_r=\epsilon r_1^k,$ що завершує доведення нерівності.

Якщо позначити $q(\phi )=q\cdot \tilde{\phi },$ то $\Vert q(\phi ){\Vert }_r⩽\Vert q{\Vert }_r\cdot \Vert \tilde{\phi }{\Vert }_r⩽\epsilon \Vert \phi {\Vert }_r.$

Нехай ${\phi }_0:=g,{\phi }_{i+1}:=q\cdot {\tilde{\phi }}_i$ і $\phi :=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_i.$ Тоді:

$\Vert \phi {\Vert }_r={\Vert \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_i\Vert }_r⩽\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert {\phi }_i{\Vert }_r⩽\Vert {\phi }_0{\Vert }_r{\epsilon }^i=\Vert g{\Vert }_r\frac{\epsilon }{1-\epsilon }<\mathrm{\infty }.$

Відповідно $\phi$ є голоморфною у відкритому полікрузі $B_r$, як і функції $h:=\tilde{\phi }{\tilde{f}}^{-1}$ і $j:=\hat{\phi }$.

Для цих функцій виконуються рівності $\hat{\phi }=\sum {\hat{\phi }}_i$ і $\tilde{\phi }=\sum {\tilde{\phi }}_i$. Також ${\phi }_i-{\phi }_{i+1}=f{\tilde{f}}^{-1}{\tilde{\phi }}_i+{\hat{\phi }}_i$ і з цих рівностей остаточно

$g=\sum ({\phi }_i-{\phi }_{i+1})=f{\tilde{f}}^{-1}\sum {\tilde{\phi }}_i+\sum {\hat{\phi }}_i=hf+j.$

Остання рівність і доводить твердження існування у теоремі.

Єдиність

Нехай $g=h_{1}f+j_1=h_{2}f+j_2$ є двома розкладами із твердження теореми. Оскільки із доведеного існування у теоремі про ділення без використання єдиності випливає існування у підготовчій теоремі, то також можна записати $g=q_{1}W+j_1=q_{2}W+j_2$, де $q_1=p{h}_1,q_2=p{h}_2$ і $p,W$ — деякі функція і многочлен Веєрштрасса із твердження підготовчої теореми (їх існування уже доведено, єдиність у даному випадку не потрібна).

Тоді $(q_1-q_2)W=(j_2-j_1).$ Усі функції можна вважати голоморфними у деякому спільному околі точки (0, ..., 0) наприклад у деякому відкритому полікрузі. Якщо $W(z)=z^k+{\sum }_{i=0}^{k-1}{b}_i(z_2,\dots ,z_n)z^i$ то з того, що $b_i(0,\dots ,0)=0$ випливає, що у малому полікрузі функції $b_i(z_2,\dots ,z_n)$ теж є малими за модулем. Тоді також і всі корені многочлена Веєрштрасса для будь-якої точки $(z_2,\dots ,z_n)$ належать кругу деякого малого радіуса (в іншому разі всі $b_i(z_2,\dots ,z_n)z^i$ за модулем будуть значно менші за $z^k$). Тобто для деякого малого $r_1>0$ можна обрати $r_2,\dots ,r_n$ такі, що у відкритому полікрузі $B_r$ усі функції, що розглядаються є голоморфними і для кожної $(z_2,\dots ,z_n)$ із полікруга відповідний многочлен має $k$ коренів із урахуванням кратності. Відповідно для кожної такої точки $(z_2,\dots ,z_n)$ функція $(q_1-q_2)W$ теж має щонайменше $k$ коренів. Натомість для кожної такої точки $j_2-j_1$ є многочленом степеня меншого, ніж $k$.

Відповідно $j_2-j_1$ має бути нульовим многочленом у кожній такій точці, тобто $j_2-j_1=0$ у полікрузі $B_r$. Як наслідок у цьому полікрузі $(q_1-q_2)W=0$ і оскільки $W\ne 0$ з теореми про рівність випливає, що $q_1=q_2$. Із цього також $h_1=p^{-1}{q}_1=p^{-1}{q}_2=h_2,$ що завершує доведення єдиності.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation