Гіпоеліптичний оператор

Гіпоеліптичний оператор — диференціальний оператор у частинних похідних, фундаментальний розв'язок якого належить класу $C^{\mathrm{\infty }}$ у всіх точках простору, крім початку координат.

Визначення

Нехай $P(\xi )$ — дійсний поліном від змінних $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n):$

$P(\xi )=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{\xi }_1^{{\alpha }_1}\cdots {\xi }_n^{{\alpha }_n},$

де $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$ і $|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$.

Узагальнена функція $ℰ(x)$ називається фундаментальним розв'язком диференціального оператора $P(D)$, якщо вона є розв'язком рівняння $P(D)ℰ(x)=\delta (x),$ де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака. Оператор $P(D)$ називають гіпоеліптичним, якщо $ℰ(x)$ належить класу $C^{\mathrm{\infty }}$ за всіх $x\ne 0$.

$P(D)=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{D}^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},$

Визначимо відповідний диференціальний оператор:

$D=(D_1,\dots ,D_n),D_j=\frac{\partial }{\partial x_j},j=1,\dots ,n.$

де

Властивості

Як визначення гіпоеліптичного оператора часто використовують такий критерій гіпоеліптичності:Шаблон:Рамка Теорема 1. Оператор $P(D)$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для будь-якої відкритої ділянки $U\subset {ℝ}^n$ будь-який розв'язок $u(x)$ (узагальнена функція) рівняння

$P(D)u(x)=f(x),x\in U,$

з будь-якою правою частиною $f\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$ також належить класу $u\in C^{\mathrm{\infty }}(U).$ Шаблон:/рамкаТакож Германдер встановив такий алгебричний критерій гіпоеліптичності:Шаблон:Рамка Теорема 2. Оператор $P(D)$ є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли

$\frac{P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}\to 0,|\xi |\to \mathrm{\infty },$

для всіх $k=(k_1,\dots ,k_n)\in {\mathbb{Z}}_{+}^n,|k|\ge 1,$ де $i$ — уявна одиниця. Шаблон:/рамка

Приклади

• Будь-який еліптичний оператор є гіпоеліптичним, наприклад, оператор Лапласа.
• Оператор теплопровідності є гіпоеліптичним, але не еліптичним.
• Оператор д'Аламбера не є гіпоеліптичним.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга