Криві другого порядку

Криві другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого ступеня:

$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$

де хоча б один з коефіцієнтів $a_{11},a_{12},a_{22}$ відмінний від нуля.

Лінії другого порядку є конічними перерізами.

Інваріанти

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:

• інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат:
  • $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$
  • $D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2$
  • $I=tr\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)=a_{11}+a_{22}$
• інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):
  • $B=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{13}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$

Основні типи

Основними кривими другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола:

Вид кривої	Канонічне рівняння	Інваріанти
Невироджені криві ($\mathrm{\Delta }\ne 0$)
еліпс	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }<0\\ D>0\\ I=a^2+b^2\end{array}$
гіпербола	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ D<0\\ I=b^2-a^2\end{array}$
парабола	$y^2=2px$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ D=0\\ I=1\end{array}$
Вироджені криві ($\mathrm{\Delta }=0$)
точка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ D>0\\ I=a^2+b^2\end{array}$
дві прямі що перетинаються	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ D<0\\ I=b^2-a^2\end{array}$
дві паралельні прямі	$\frac{x^2}{a^2}=1$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ D=0\\ I=1\end{array}$
одна пряма	$x^2=0$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ D=0\\ I=1\end{array}$
Порожня множина
уявний еліпс	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ D>0\\ I=a^2+b^2\end{array}$
дві уявні паралельні прямі	$\frac{x^2}{a^2}=-1$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ D=0\\ I=1\end{array}$

Історія та застосування

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

Див. також

• Конічні перетини,
• Поверхня другого порядку,
• Афінний простір.