Числа Пізо

Число Пізо (або число Пізо — Віджаяраґгавана, або PV-число) — будь-яке ціле алгебричне число, більше від одиниці, модулі всіх спряжених якого строго менші від одиниці. Ці числа відкрив 1912 року Шаблон:Нп, від 1919 року вивчав Ґодфрі Гарді у зв'язку з діофантовими наближеннями, але популярність вони здобули після опублікування 1938 року дисертації Шаблон:Не перекладено. У 1940-х роках дослідження продовжили Шаблон:Не перекладено і Рафаель Салем.

З числами Пізо тісно пов'язані числа Салема: це таке число, модулі всіх спряжених якого не перевищують 1 і серед них є одиничний.

Властивості

Що більший натуральний показник степеня PV-числа, то більше цей степінь наближається до цілого числа. Пізо довів, що серед нецілих додатних алгебричних чисел, модулі яких більші від 1, ця властивість є винятковою для PV-чисел: якщо дійсне число $\alpha >1$ таке, що послідовність відстаней $\Vert {\alpha }^n\Vert$ від його степенів до множини цілих чисел квадратно сумовні (належать L²)Шаблон:Уточнити, то $\alpha$ — число Пізо (і, зокрема, $\alpha$ — алгебричне).

Найменшим числом Пізо є єдиний дійсний корінь кубічного рівняння $x^3-x-1=0$, відомий як пластичне число.

Квадратичні ірраціональності, що є числами Пізо:

Значення	Многочлен	Числове значення
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$x^2-x-1$	1,618034 … (золотий перетин)
$1+\sqrt{2}$	$x^2-2x-1$	2,414214… (срібний перетин)
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$	$x^2-3x+1$	2,618034… Шаблон:OEIS2C
$1+\sqrt{3}$	$x^2-2x-2$	2,732051… Шаблон:OEIS2C
$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	$x^2-3x-1$	3,302776… Шаблон:OEIS2C (бронзовий перетин)
$2+\sqrt{2}$	$x^2-4x+2$	3,414214…
$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$	$x^2-3x-2$	3,561553. Шаблон:OEIS2C
$2+\sqrt{3}$	$x^2-4x+1$	3,732051… Шаблон:OEIS2C
$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$	$x^2-3x-3$	3,791288… Шаблон:OEIS2C
$2+\sqrt{5}$	$x^2-4x-1$	4,236068… Шаблон:OEIS2C