Суми Клоостермана

Суми Клоостермана — предмет вивчення аналітичної теорії чисел, тригонометричні суми над елементами кільця лишків, оберненими за модулем елементами деякої множини з природною структурою (як правило, інтервалу або простих чисел з інтервалу).

Перші оцінки сум отримав 1926 року Шаблон:Нп у зв'язку з дослідженням кількості подань чисел у вигляді $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d t^{2}$ Шаблон:Sfn.

Визначення

Нехай $q \geq 3$ — довільне ціле число і для $n \in 𝔽_{q}$ взаємнопростого з $q$ введено позначення $n \overline{n} \equiv 1 (\mod q)$ . Тоді для $a, b \in 𝔽_{q}$ повною сумою Клоостермана називають суму вигляду

S (q; a, b) : = \sum_{\overset{0 \leq n \leq q - 1}{(n, q) = 1}} e_{q} (a \overline{n} + b n) .

Неповною називають суму за деяким інтервалом $\sum_{n = M + 1}^{M + N} e_{q} (a \overline{n} + b n)$ Шаблон:Sfn.

Іноді розглядають суми за простим Шаблон:Sfn, полілінійні суми за участю обернених елементівШаблон:Sfn та інші суми вигляду $\sum_{n \in A} e_{q} (a \overline{n} + b n)$ , де $A \subset 𝔽_{q}$ .

За заданого $q$ зазвичай оцінюють суми Клоостермана за довільних $a = 0, b \in 𝔽_{q}$ , зокрема величину $S (q) = \max \limits_{a = 0, b \in 𝔽_{q}} S (q; a, b)$ .

Властивості

При $a = 0$ повні суми Клоостермана вироджуються в суми Рамануджана.

Якщо $(q_{1}, q_{2}) = 1$ , то $S (q) = S (q_{1}) S (q_{2})$ , тому питання оцінки $S (q)$ зводиться до випадку $q = p^{n}$ .

Оцінки

$| S (q) | \leq τ (q) \sqrt{q}$ , де $τ (q)$ — число дільників. З цього виходить що $\sum_{\overset{0 \leq n \leq x}{(n, q) = 1}} e_{q} (a \overline{n} + b n) \leq τ (q) \sqrt{q} (\log q + 1)$ для будь-кого $x < q$ ^[1].