Суми Рамануджана

Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів $k$ і $n$, виду:

$c_k(n)=\sum _h\cos \left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum _h\exp \left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),$

де $h<k,h\in {\mathbb{Z}}_0$ и $(h,k)=1$.

Властивості

Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу $k$, тобто

$c_{k{k}^{\prime }}(n)=c_k(n)c_{k^{\prime }}(n),$

якщо $(k,k^{\prime })=1$.

Суми $c_k(n)$ можна записати через функцію Мебіуса $\mu$:

$c_k(n)=\sum _{d\setminus (k,n)}\mu \left(\frac{k}{d}\right)d.$

Суми Рамануджана обмежені при обмежених або $k$, або $n$. Так, наприклад $c_k(1)=1$.

Тригонометричні формули

$\begin{array}{cc}{c}_1(n)& =1\\ c_2(n)& =\cos n\pi \\ c_3(n)& =2\cos \frac{2}{3}n\pi \\ c_4(n)& =2\cos \frac{1}{2}n\pi \\ c_5(n)& =2\cos \frac{2}{5}n\pi +2\cos \frac{4}{5}n\pi \\ c_6(n)& =2\cos \frac{1}{3}n\pi \\ c_7(n)& =2\cos \frac{2}{7}n\pi +2\cos \frac{4}{7}n\pi +2\cos \frac{6}{7}n\pi \\ c_8(n)& =2\cos \frac{1}{4}n\pi +2\cos \frac{3}{4}n\pi \\ c_9(n)& =2\cos \frac{2}{9}n\pi +2\cos \frac{4}{9}n\pi +2\cos \frac{8}{9}n\pi \\ c_{10}(n)& =2\cos \frac{1}{5}n\pi +2\cos \frac{3}{5}n\pi \\ \end{array}$

Застосування сум Рамануджана

Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по $c_k(n)$. Вірним є і обернене твердження.

Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),$

де $f(n)$ — мультиплікативна функція $q$ — ціле число $s$ — в загальному випадку, комплексне.

У простому випадку, можна одержати

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{{\sigma }_{1-s}(n)}{\zeta (s)},$

де $\zeta (s)$ — дзета-функція Рімана ${\sigma }_k(n)$ — сума $k$-х степенів дільників числа $n$.

Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.

Див. також

• Суми Клоостермана

Література

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Шаблон:Книга-ру.
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — Шаблон:М.: ВИНИТИ, 1960.