Гравітація з масивним гравітоном

Гравітація з масивним гравітоном — назва класу теорій гравітації, в яких частинку-переносник взаємодії (гравітон) вважають масивною. Приклад — релятивістська теорія гравітації. Характерною особливістю таких теорій є проблема розриву ван Дама — Вельтмана — Захарова (Шаблон:Lang-en), тобто наявність скінченної різниці в передбаченнях межі такої теорії за маси гравітона, що прямує до нуля, і теорії з безмасовою частинкою із самого початку.

Проблеми масивного гравітона в лінійному наближенні

Загальну теорію відносності в лінеаризованій межі можна сформулювати як теорію безмасового поля спіну 2 на просторі Мінковського, описуваного симетричним тензором $h_{\mu \nu }$. Природним узагальненням такої теорії є введення в лагранжіан масового члена різного вигляду. Найчастіше його обирають у вигляді Паулі — Фірца $m^2(h_{\mu \nu }-{\eta }_{\mu \nu }h)$, що, як можна показати, найприродніше, проте можливий і інший вибір (типу $m^2(h_{\mu \nu }-\alpha {\eta }_{\mu \nu }h),\alpha \ne 1$). При цьому рівняння руху для гравітаційного поля набувають вигляду

$-◻h_{\mu \nu }+h_{\mu ,\lambda \nu }^{\lambda }+h_{\nu ,\lambda \mu }^{\lambda }-{\eta }_{\mu \nu }{h}_{,\kappa \lambda }^{\kappa \lambda }-h_{,\mu \nu }+{\eta }_{\mu \nu }◻h+m^2(h_{\mu \nu }-\alpha {\eta }_{\mu \nu }h)=\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

де індекси піднімаються та опускаються метрикою Мінковського ${\eta }_{\mu \nu }$, $◻$ — Оператор д'Аламбера, $G$ — гравітаційна стала Ньютона, $T_{\mu \nu }$ — тензор енергії-імпульсу джерел поля. Дивергенція цих рівнянь у силу законів збереження має дорівнювати 0, що дає $h_{\mu \nu }^{,\nu }=\alpha h_{,\mu }$ і після підставлення в рівняння та взяття сліду

$2(\alpha -1)◻h+m^2(1-4\alpha )h=\frac{16\pi G}{c^4}T.$

Тому є дві різні можливості: або $\alpha =1$ — тоді слід тензора $h=-\frac{16\pi G}{3c^4{m}^2}T$ не є динамічною змінною теорії, а цілком визначається слідом джерела $T$, або $\alpha \ne 1$ і $h$ — динамічна змінна. Перший випадок дає обґрунтування масовому члену Паулі — Фірца, але призводить до такого виразу для гравітаційного поля:

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻+m^2}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{\eta }_{\mu \nu }T)+\frac{1}{3m^2}\frac{1}{-◻+m^2}{T}_{,\mu \nu },$

де введено коротке позначення $\frac{1}{-◻+m^2}$ для інтегрального оператора, оберненого до диференціального $(-◻+m^2)$, на відміну від

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }T)$

у лінеаризованій загальній теорії відносності. Таким чином, отримана теорія має дві проблеми при $m\to 0$, що виражаються в неправильній величині гравітаційних ефектів від першого доданку (1/3 замість 1/2), а також у прямуванні другого з них до нескінченності. Перший відзначений ефект і називають розривом ван Дама — Вельтмана — Захарова за іменами першовідкривачів. Зокрема, через це відхилення світла в теорії $m\to 0$ становить 3/4 величини в загальній теорії відносності, а прецесія перигелію — 2/3.

Другий підхід призводить до появи нового динамічного ступеня вільності, який зводить передбачення до потрібного рівня, оскільки загальний розв'язок має вигляд

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻+m^2}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{\eta }_{\mu \nu }T)-\frac{1}{-◻+m_0^2}\frac{1}{6}{\eta }_{\mu \nu }T+\frac{2\alpha -1}{2(1-\alpha )}\frac{1}{-◻+m^2}\frac{1}{-◻+m_0^2}{T}_{,\mu \nu },$

де $m_0^2=m^2\frac{4\alpha -1}{2(1-\alpha )}$, і при $m\to 0$ перший та другий члени дають 1/3 + 1/6 = 1/2. Але при взаємодії з матерією другий член бере участь зі знаком, протилежним першому, так що він є скалярним полем від'ємної енергії (Шаблон:Lang-en), що викликає нестабільність теорії відносно перекачування в нього енергії.

Загалом корінь проблеми лежить у розкладанні масивного поля спіну 2 за спіральностями та їх взаємодією з речовиною. За прямування маси поля до нуля компоненти спіральності $\pm 1$ відокремлюються від інших, утворюючи незалежне вільне безмасове поле Максвелла, але компоненти спіральності $\pm 2$ і $0$ залишаються зачепленими і взаємодіють із речовиною спільно. Ситуацію можна вирішити, додавши ще одне скалярне поле, але для відновлення коректної границі воно повинне мати від'ємну енергію, що знову ж неприпустимо у стабільній теорії поля.

Докладніший розбір, що не обмежується лінеаризованим наближенням, проведено у працях Девіда Булвера (David G. Boulware) і Стенлі Десера та Шаблон:Нп, Яна Когана і Антоніоса Папазоглу (Antonios Papazoglou).