Гомоморфізм Бокштейна

У гомологічній алгебрі, гомоморфізм Бокштейна є звязуючим гомоморфізмом для короткої точної послідовності:

0 \to P \to Q \to R \to 0

абелевих груп, якщо вони використовуються як коефіцієнти гомологічних груп ланцюгового комплекса C.

У цьому випадку однозначно визначається гомоморфізм

β : H_{i} (C, R) \to H_{i - 1} (C, P) .

Більш детально, у означенні C є комплексом вільних абелевих груп або більш загально абелевих груп без кручень, а гомологія обчислюється для комплексів одержаних за допомогою тензорного добутку груп у точній послідовності із групами із C. Оскільки абелеві групи без кручень є плоскими модулями то в результаті одержується коротка точна послідовність ланцюгових комплексів і гомоморфізм $β$ одержується стандартним методом за допомогою леми про змію.

Подібно будується і гомоморфізм для когомологічних груп:

β : H^{i} (C, R) \to H^{i + 1} (C, P) .

Найважливішими на практиці є гомоморфізми Бокштейна $β$ для точних послідовностей коефіцієнтів

0 \to ℤ / p ℤ \to ℤ / p^{2} ℤ \to ℤ / p ℤ \to 0,

особливо для простих чисел p.

У цьому випадку для гомоморфізма Бокштейна також:

β β = 0

,

β (a \cup b) = β (a) \cup b + (- 1)^{\dim a} a \cup β (b)

;

іншими словами гомоморфізм Бокштейна є супердеривацією на когомологічному кільці з коефіцієнтами за модулем p.

Гомоморфізма Бокштейна у цьому випадку використовується як один із породжуючих елементів алгебри Стінрода.

Література

Гомоморфізм Бокштейна

Література

Навігаційне меню

Пошук