Метрика Васерштейна

У математиці, відстань Шаблон:Нп або метрика Канторовича-Шаблон:Нп — це функція відстані, визначена між розподілами ймовірностей у заданому метричному просторі $M$. Названа на честь Шаблон:Нп.

Означення

Нехай $(M,d)$ — метричний простір, де кожна міра є мірою Радона. Для $p\in [1,+\mathrm{\infty }]$, $p$ — відстань Васерштейна між двома ймовірнісними мірами $\mu$ та $\nu$ на $M$ зі скінченними $p$-ми моментами визначається як

$W_p(\mu .\nu )={(\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma \in \mathrm{\Gamma }(\mu ,\nu )}{𝔼}_{(x,y)\sim \gamma }d(x,y{)}^p)}^{\frac{1}{p}},$

де $\mathrm{\Gamma }(\mu ,\nu )$ — множина всіх каплінгів $\mu$ та $\nu .$ Каплінг $\gamma$ — це спільний розподіл ймовірностей на $M\times M$ такий, що

$\begin{array}{cc}\underset{M}{\int }\gamma (x,y)\mathrm{d}y& =\mu (x),\\ \underset{M}{\int }\gamma (x,y)\mathrm{d}x& =\nu (y).\end{array}$

Приклади

Детерміновані розподіли

Нехай ${\mu }_1={\delta }_{a_1}$ та ${\mu }_2={\delta }_{a_2}$ — два виродженні розподіли, зосереджені в точках $a_1$ та $a_2$ в $ℝ.$ Існує тільки один можливий каплінг цих двох мір — ${\delta }_{(a_1,a_2)},(a_1,a_2)\in {ℝ}^2.$ Тоді, використовуючи модуль різниці як метрику на $ℝ,$ для довільного $p\ge 1,$ $p$-відстань Васерштейна між мірами ${\mu }_1$ та ${\mu }_2$ визначається як

$W_p({\mu }_1,{\mu }_2)=|a_1-a_2|.$

Одновимірні розподіли

Нехай ${\mu }_1,{\mu }_2$ — ймовірнісні міри на $ℝ.$ Позначимо їхні функції розподілу ймовірностей як $F_1(x)$ та $F_2(x)$ відповідно. Тоді $p$-відстань Васерштейна між мірами ${\mu }_1$ та ${\mu }_2$ визначається як

$W_p({\mu }_1,{\mu }_2)={(\underset{0}{\overset{1}{\int }}|F_1^{-1}(q)-F_2^{-1}(q){|}^p\mathrm{d}q)}^{\frac{1}{p}}.$

У випадку $p=1$, використовуючи формулу заміни змінних, отримуємо

$W_1({\mu }_1,{\mu }_2)=\underset{ℝ}{\int }|F_1(x)-F_2(x)|\mathrm{d}x.$

Нормальний розподіл

Нехай ${\mu }_1=N(m_1,C_1),{\mu }_2=N(m_2,C_2)$ — дві невиродженні гаусові міри в ${ℝ}^n$ з середніми $m_1$ та $m_2$ і матрицями коваріації $C_1$ та $C_2$ відповідно. Тоді, використовуючи звичайну евклідову метрику на ${ℝ}^n$, $2$-відстань Васерштейна для ${\mu }_1$ та ${\mu }_2$ визначається як

$W_2({\mu }_1,{\mu }_2{)}^2=\Vert m_1-m_2{\Vert }_2^2+\mathrm{tr}(C_1+C_2-2(C_2^{\frac{1}{2}}{C}_1{C}_2^{\frac{1}{2}}{)}^{\frac{1}{2}}).$

Властивості

• Збіжність в метриці $W_p$ еквівалентна звичайній слабкій збіжності плюс збіжності перших $p$-их моментів.
• Якщо $\mu$ та $\nu$ мають обмежений носій, то

$W_1(\mu ,\nu )=\sup \{\underset{M}{\int }f(x)\mathrm{d}(\mu -\nu )(x)|\text{continuous}f:M\to ℝ,\mathrm{Lip}(f)\le 1\},$ де $\mathrm{Lip}(f)$ — найменша константа Ліпшиця для $f.$

• Нехай ${𝑷}_p(M)$ — сукупність всіх ймовірнісних мір на $M$ зі скінченним $p$-м моментом. Для довільного $p\ge 1,$ метричний простір $({𝑷}_p(M),W_p)$ є повним та сепарабельним, якщо $(M,d)$ — повний та сепарабельний.

Див. також

• Метрика Леві
• Транспортна задача
• Критерій узгодженості Колмогорова

Додаткова література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite book