Дія Ейнштейна — Гільберта

Дія Ейнштейна — Гільберта — дія, яка дозволяє виводити рівняння Ейнштейна у загальній теорії відносності через принцип найменшої дії. Гравітаційна частина дії дається формулою

$S=\frac{1}{2\kappa }\int R\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x,$

де $g=\det (g_{\mu \nu })$ — визначник метричного тензора, $R$ — скаляр Річі, а $\kappa =8\pi G{c}^{-4}$ — гравітаційна стала Ейнштейна ($G$ — гравітаційна стала, $c$ — швидкість світла у вакуумі). Застосування рівняння Ейлера — Лагранжа до дії Ейнштейна — Гільберта дає рівняння Ейнштейна.

Вперше цю дію запропонував Давид Гільберт у 1915 році.

Виведення рівнянь поля Ейнштейна

Виведення рівнянь руху з дії має кілька переваг. По-перше, це дозволяє легко поєднати загальну теорію відносності з іншими класичними теоріями поля (наприклад, теорією Максвелла), які також сформульовані в термінах дії. Крім того, симетрії дії дозволяють легко ідентифікувати збережувані величини за допомогою теореми Нетер.

Рівняння Ейнштейна в присутності матерії отримують додаванням дії матерії до дії Ейнштейна — Гільберта. Припустимо, що повна дія задана членом Ейнштейна — Гільберта плюс член ${ℒ}_{\mathrm{M}}$, який описує будь-які поля матерії, наявні в теорії:Шаблон:NumBlkТоді принцип найменшої дії говорить, що для виведення фізичного закону ми повинні вимагати, щоб варіація цієї дії зі змінами оберненої метрики дорівнювала нулю, що дає

$\begin{array}{cc}0& =\delta S\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }\frac{\delta \left(\sqrt{-g}R\right)}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta \left(\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}}\right)}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }(\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }})+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \left(\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}}\right)}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\end{array}$.

Оскільки це рівняння має виконуватися для будь-якої варіації $\delta g^{\mu \nu }$, тоШаблон:NumBlkПрава частина цього рівняння руху (за визначенням) пропорційна тензору енергії-імпульсу,

$T_{\mu \nu }:=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}=-2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+g_{\mu \nu }{ℒ}_{\mathrm{M}}$.

Щоб обчислити ліву частину рівняння, нам потрібні варіації скаляра Річі $R$ і визначника метрики. Їх можна отримати за допомогою стандартних розрахунків, таких як наведені нижче розрахунки на основі підручника Керролла (2004).

Варіація скаляра Річі

Варіація скаляра Річі випливає з варіації тензора кривини Рімана, а потім тензора кривини Річі.

Перший крок фіксується Шаблон:Не перекладено

$\delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }\right)-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }\right)$.

Використовуючи правило добутку, варіація скаляра Річі $R=g^{\sigma \nu }{R}_{\sigma \nu }$ перетворюються на

$\begin{array}{cc}\delta R& =R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\ & =R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }(g^{\sigma \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\mu }),\end{array}$

де ми також використали метричну зв'язність ${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{g}^{\mu \nu }=0$ і перейменували індекси підсумовування $(\rho ,\nu )\to (\mu ,\rho )$ в останньому члені.

При множенні на $\sqrt{-g}$, член ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }(g^{\sigma \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\mu })$ стає повною похідною, оскільки для будь-якого вектора $A^{\lambda }$ і будь-якої тензорної густини $\sqrt{-g}{A}^{\lambda }$, ми маємо

$\sqrt{-g}{A}_{;\lambda }^{\lambda }={\left(\sqrt{-g}{A}^{\lambda }\right)}_{;\lambda }={\left(\sqrt{-g}{A}^{\lambda }\right)}_{,\lambda }$ або $\sqrt{-g}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{A}^{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }\left(\sqrt{-g}{A}^{\mu }\right)={\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{A}^{\mu }\right)$.

За теоремою Стокса, така повна похідна при інтегруванні дає лише граничний член. Цей граничний член в загальному випадку не дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція залежить не тільки від $\delta g^{\mu \nu },$ а й від його часткових похідних ${\partial }_{\lambda }\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta {\partial }_{\lambda }{g}^{\mu \nu }$. Подробиці наведені в статті Шаблон:Не перекладено. Однак коли варіація метрики $\delta g^{\mu \nu }$ зникає в околицях границі або коли границі немає, цей член не дає внеску у варіацію дії. Таким чином, ми можемо забути про цей член і просто отриматиШаблон:NumBlkдля подій не на замиканні границі.

Варіація визначника

Шаблон:Не перекладено, правило диференціювання визначника, дає:

$\delta g=\delta \det (g_{\mu \nu })=g{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$ ,

тобто можна перейти в систему координат, де $g_{\mu \nu }$ діагональна, а потім застосувати правило добутку, щоб продиференціювати добуток членів на головній діагоналі. Використовуючи це, ми отримуємо

$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g=\frac{1}{2}\sqrt{-g}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)$.

В останній рівності ми використали той факт, що

$g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$,

що випливає з правила диференціювання оберненої матриці

$\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }$.

Таким чином робимо висновокШаблон:NumBlk

Рівняння руху

Тепер, коли ми маємо в своєму розпорядженні всі необхідні варіації, ми можемо підставити (Шаблон:EquationNote) і (Шаблон:EquationNote) в рівняння руху (Шаблон:EquationNote) для метричного поля, отримуючиШаблон:NumBlkяке є рівнянням поля Ейнштейна, а

$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$

було обрано таким чином, щоб нерелятивістський граничний випадок давав звичайну форму ньютонівського закону всесвітнього тяжіння, де $G$ є гравітаційною сталою.

Космологічна стала

Коли в лагранжіан включена космологічна стала Λ, дія стає

$S=\int [\frac{1}{2\kappa }(R-2\mathrm{\Lambda })+{ℒ}_{\mathrm{M}}]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x$.

Беручи варіації за зворотною метрикою, отримуємо

$\begin{array}{cc}\delta S& =\int [\frac{\sqrt{-g}}{2\kappa }\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{2\kappa }\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}-\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}+\sqrt{-g}\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+{ℒ}_{\mathrm{M}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{2\kappa }\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}-\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{{ℒ}_{\mathrm{M}}}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\end{array}$

За принципом найменшої дії,

$0=\delta S=\frac{1}{2\kappa }\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{2\kappa }\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}-\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{{ℒ}_{\mathrm{M}}}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}$

Комбінуючи цей вираз із результатами, отриманими раніше:

$\begin{array}{cc}\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}& =R_{\mu \nu }\\ \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}& =\frac{-g_{\mu \nu }}{2}\\ T_{\mu \nu }& ={ℒ}_{\mathrm{M}}{g}_{\mu \nu }-2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}\end{array}$

ми можемо отримати

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2\kappa }{R}_{\mu \nu }+\frac{R}{2\kappa }\frac{-g_{\mu \nu }}{2}-\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }\frac{-g_{\mu \nu }}{2}+(\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+{ℒ}_{\mathrm{M}}\frac{-g_{\mu \nu }}{2})& =0\\ R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }+\kappa (2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}-{ℒ}_{\mathrm{M}}{g}_{\mu \nu })& =0\\ R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }& =0\end{array}$

З $\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$ вираз стає рівнянням поля з космологічною сталою:

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395—407
• Шаблон:SpringerEOM
• Шаблон:Citation
• Christopher M. Hirata Lecture 33: Lagrangian formulation of GR (27 April 2012).