Число Ліувілля

Число Ліувілля — ірраціональне число $x$, яке можна наблизити раціональними числами так, що для будь-якого цілого $n$ існує нескінченно багато пар цілих $(p,q)$ ($q>1$) таких, що:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$.

Діофантове число — ірраціональне число, яке в такий спосіб подати не можна, тобто при наближенні раціональним числом помилка становить не менше деякого степеня знаменника:

$\mathrm{\exists }C,\alpha >0:\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}|x-\frac{p}{q}|⩾\frac{C}{q^{\alpha }}$ .

За теоремою Ліувілля про наближення алгебричних чисел, будь-яке ірраціональне алгебричне число є діофантовим. Зокрема, будь-яке ліувіллеве число трансцендентне, що дозволяє явно будувати трансцендентні числа як суми надшвидко збіжних рядів раціональних чисел.

Діофантові числа є метрично типовими: їх множина має повну міру Лебега. Числа Ліувілля, навпаки, типові з топологічної точки зору: їх множина залишкова.

Міра ірраціональності чисел Ліувілля: $\mu (x)=+\mathrm{\infty }$, крім того, якщо міра ірраціональності числа нескінченна, то воно ліувіллеве (іноді цю властивість приймають як визначення чисел Ліувілля).

Шаблон:ЯкірКласичний приклад ліувіллевого числа — стала Ліувілля, яку визначають як:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0,1100010000000000000000010000\dots$