Перегляд вихідного коду сторінки Напівпрямий добуток

{{Теорія груп|expanded=Basics}}
'''Напівпрямий добуток'''&nbsp;— конструкція в [[теорія груп|теорії груп]], що дозволяє будувати нову [[група (алгебра)|групу]] за двома групами <math>H</math> і <math>N</math>, і [[дія групи|дією]] <math>\phi</math> групи <math>H</math> в просторі групи <math>N</math>, що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп <math>N</math> і <math>H</math> над <math>\phi</math> звичайно позначається <math>N\rtimes_\phi H</math>.

== Конструкція ==
Нехай задана дія групи <math>H</math> на просторі групи <math>N</math> із збереженням її групової структури.
Це означає, що задано [[Гомоморфізм груп|гомоморфізм]] <math>\phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N)</math> групи <math>H</math> в групу [[Автоморфізм групи|автоморфізмів]] групи <math>N</math>.
Автоморфізм групи <math>N</math>, що відповідає елементу <math>h</math> із <math>H</math> при гомоморфізмі <math>\phi</math> позначимо <math>\phi_{h}</math>.
Як група <math>G</math>&nbsp;— напівпрямий добуток груп <math>H</math> і <math>N</math> над гомоморфізмом <math>\phi</math>&nbsp;— береться множина <math>N\times H</math> з [[бінарна операція|бінарної операцією]] <math>*</math>, яка діє за правилом:
: <math>(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)</math> для довільних <math>n_1,n_2 \in N</math>, <math>h_1,h_2 \in H</math>.

== Властивості ==
# Групи <math>H</math> і <math>N</math> природно вкладені в <math>G</math>, причому <math>N</math>&nbsp;— [[нормальна підгрупа]] в <math>G</math>.
# Кожен елемент <math>g\in G</math> однозначно розкладемо у добуток <math>g=nh</math>, де <math>h</math> і <math>n</math>&nbsp;— елементи груп <math>H</math> і <math>N</math> відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи <math>G</math> як напівпрямого добутку груп <math>H</math> і <math>N</math>.)
# Задана дія <math>\phi</math> груп <math>H</math> на групі <math>N</math> збігається з дією <math>H</math> на <math>N</math> [[спряження]]ми (в групі <math>G</math>).
Будь-яка група з властивостями 1-3 [[ізоморфізм груп|ізоморфна]] групі <math>G</math> (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

{{Hider|
  title = Обґрунтування|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =* Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення
::<math>\phi_{h_1}\circ\phi_{h_2}(n) = \phi_{h_1h_2}(n)</math> и <math>\,\phi_{h}(n_1)\phi_{h}(n_2) = \phi_{h}(n_1n_2)</math>.
* Одиницею групи ''G'' служить елемент <math>\,(1_N,1_H)</math>, де <math>1_N</math> и <math>1_H</math> - одиниці в групах ''N'' и ''H'' відповідно. <br> (Використовується рівність <math>\phi_{1_H}(n) = n</math>.)
* Елемент, обернений до <math>\,(n,h)</math>, рівний <math>(\,\phi_h^{-1}(n^{-1}),h^{-1})</math>. 
** Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність <math>\phi_h^{-1}(n^{-1}) = \phi_{h^{-1}} (n)^{-1}</math>.
* Відображення <math>n\to(n,1_H)</math> и <math>h\to(1_N,h)</math> є гомоморфними вкладеннями груп ''N'' і ''H'' в групу ''G''. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи ''G''.
* Відображення <math>(n,h)\to h</math> є епиморфізмом групи ''G'' на групу ''H'' з ядром ''N''. Звідси слідує, що група ''N'' є нормальною в ''G''.
* Рівність <math>\,(n,h) = (n,1)*(1,h)</math> дає розклад довільного елемента групи ''G'' у добуток елементів ''n'' і ''h'' з груп ''N'' і ''H'' відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
* Рівність <math>(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}</math> показує, що дія групи ''H'' на ''N'', котра задається гомоморфізмом <math>\phi</math> співпадає з дією ''H'' на ''N'' спряженням.
* Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою <math>(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)</math>. <br> З неї випливає, що добуток у групі ''G'' с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи ''N'') повністю визначається правилами множення всередині підгруп ''N'' і ''H'' и правилами спряження елементів із ''N'' елементами із ''H''.}}

== Приклад ==
Група <math>\mathbb{Z}_4</math> діє на <math>\mathbb{Z}_5</math> (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:
: <math>\phi_h(n) = a^h n</math>, де <math>a</math>&nbsp;— фіксований ненульовий елемент <math>\mathbb{Z}_5</math>, <math>h\in\mathbb{Z}_4</math>, <math>n\in\mathbb{Z}_5</math>.
Відповідно, на множині <math>\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4</math> можна ввести 4 структури групи&nbsp;— напівпрямого добутку:
# <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2)\,</math>
# <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>
# <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>
# <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта&nbsp;— ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи [[порядок групи|порядку]] 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються [[теореми Силова]]).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

== Див. також ==
* [[Прямий добуток груп]]

== Джерела ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

[[Категорія:Теорія груп]]