Перегляд вихідного коду сторінки Гіпереліптична крива

[[Файл:Example_of_a_hyperelliptic_curve.svg|праворуч|міні| Рис. 1. Графік гіпереліптичної кривої <math>C : y^2 = f(x)</math> де <math display="block">f(x) = x^5 - 2x^4 - 7x^3 + 8x^2 + 12x = x (x + 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2). </math>]]
В [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]] '''гіпереліптична крива'''&nbsp;— [[алгебрична крива]] [[Рід (математика)|роду]] <math>g > 1</math>, задана рівнянням вигляду

<math display="block">y^2 + h(x)y = f(x)</math>

де <math>f(x)</math>&nbsp;— [[многочлен]] степеня <math>n = 2g + 1 > 4</math> або <math>n = 2g + 2 > 4</math> з <math>n</math> різними коренями, а <math>h(x)</math>&nbsp;— многочлен степеня <math>< g + 2</math> (якщо <math>g</math> не дорівнює 2, можна прийняти <math>h(x) = 0</math>).

'''Гіпереліптична функція'''&nbsp;— елемент {{Нп|Функціональне поле алгебричного многовиду|функціонального поля|en|Function field of an algebraic variety}} такої кривої або {{Нп|Многовид Якобі|многовиду Якобі|en|Jacobian variety}} на кривій; ці два поняття ідентичні для [[Еліптична функція|еліптичних функцій]], але різні для гіпереліптичних функцій.

== Рід ==
Степінь многочлена визначає рід кривої: многочлен степеня <math>2g + 1</math> або <math>2g + 2</math> дає криву роду <math>g</math>. Якщо степінь дорівнює <math>2g + 1</math>, криву називають {{Нп|Уявна гіпереліптична крива|уявною гіпереліптичною кривою|en|Imaginary hyperelliptic curve}}. Водночас криву степеня <math>2g + 2</math> називають {{Нп|дійсна гіпереліптична крива|дійсною гіпереліптичною кривою|en|Real hyperelliptic curve}}. Це твердження про рід залишається істинним для <math>g = 0</math> або 1, але ці особливі випадки не називають «гіпереліптичними». У випадку <math>g = 1</math> (якщо вибрати виділену точку) таку криву називають [[Еліптична крива|еліптичною]].

== Постановка та вибір моделі ==
Хоча ця модель є найпростішим способом опису гіпереліптичних кривих, таке рівняння матиме [[Особлива точка|особливу точку]] ''на нескінченності'' в [[Проєктивна площина|проєктивній площині]]. Ця особливість характерна для випадку ''<math>n > 3</math>''. Тому, якщо несингулярну криву визначають таким рівнянням, майже завжди мають на увазі несингулярну модель (також звану {{Нп|Плавне завершення|плавним завершенням|en|Smooth completion}}), еквівалентну в сенсі [[Біраціональна геометрія|біраціональної геометрії]].

Точніше, рівняння визначає [[Розширення поля|квадратичне розширення]] '''C'''(''x''), і мається на увазі саме це функціональне поле. Особливу точку на нескінченності можна видалити (оскільки це крива) за допомогою процесу нормалізації ([[Ціле розширення кільця|інтегрального замикання]]). Виявляється, що після цього є відкрите покриття кривої двома афінними діаграмами: тією, яка вже задана <math display="block">y^2 = f(x) </math> і ще однією, заданою як <math display="block">w^2 = v^{2g+2}f(1/v) .</math>

Карти склеювання між двома діаграмами задаються як <math display="block">(x,y) \mapsto (1/x, y/x^{g+1})</math> і <math display="block">(v,w) \mapsto (1/v, w/v^{g+1}),</math> де б їх не було визначено.

Фактично передбачається геометричне скорочення, причому криву ''C'' визначають як розгалужене подвійне покриття [[Проективна пряма|проєктивної прямої]], {{Нп|Галуження (математика)|розгалуження|en|Ramification (mathematics)}} відбувається в коренях ''f'', а також, для непарних ''n'', у точці на нескінченності. Таким чином, випадки ''<math>n = 2g + 1</math>'' і ''<math>2g + 2</math>'' можна об'єднати, оскільки, щоб перемістити будь-яку точку розгалуження від нескінченності, можна також використати [[автоморфізм]] проєктивної площини.

== Використання формули Рімана&nbsp;— Гурвіца ==
За допомогою {{Нп|Формула Рімана — Гурвіца|формули Рімана — Гурвіца|en|Riemann–Hurwitz formula}} гіпереліптичну криву роду ''<math>g</math>'' визначають рівнянням степеня ''<math>n = 2g + 2</math>''. Припустимо'', <math>f : X \rightarrow P^1</math>''&nbsp;— розгалужене покриття зі ступенем галуження 2, де ''<math>X</math>''&nbsp;— крива з родом ''<math>g</math>'', а ''<math>P^1</math>''&nbsp;— [[сфера Рімана]]. Нехай ''<math>g_1 = g</math>'' і ''<math>g_0</math>''&nbsp;— рід ''<math>P^1 (= 0)</math>'', тоді формула Рімана&nbsp;— Гурвіца дає

: <math>2-2g_1 =2(2-2g_0)-\sum_{s \in X}(e_s-1)</math>

де ''<math>s</math>'' є над усіма розгалуженими точками на ''<math>X</math>''. Кількість точок галуження дорівнює ''n'', і в кожній точці галуження ''<math>s</math>'' маємо ''<math>e_{s} = 2</math>'', тому формула набуває вигляду

: <math>2-2\times g =2(2-2\times0)-n\times(2-1)</math>

тому ''<math>n = 2g + 2</math>''.

== Поява і застосування ==
Усі криві роду 2 є гіпереліптичними, але для роду ≥ 3 родова крива не є гіпереліптичною. Це видно евристично з перевірки розмірності [[Простір модулів|простору модулів]]. Підраховуючи константи, при ''<math>n = 2g + 2</math>'' набір з ''n'' точок, що підлягають дії автоморфізмів проєктивної прямої, має ''<math>(2g + 2) - 3</math>'' [[Ступені свободи (значення)|ступенів вільності]], що менше, ніж ''<math>3g - 3</math>'', кількість модулів кривої роду ''<math>g</math>'', якщо ''<math>g</math>'' не дорівнює 2. Значно більше відомо про ''гіпереліптичне геометричне місце точок'' у просторі модулів кривих {{Прояснити| або [[Абелів многовид|абелевих многовидів]]|Що означає посилання на абелеві многовиди?}}, хоча складніше показати ''загальні'' негіпереліптичні криві за допомогою простих моделей.<ref>{{Cite journal|last=Poor|first=Cris|year=1996|title=Schottky's form and the hyperelliptic locus|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=124|issue=7|pages=1987–1991|doi=10.1090/S0002-9939-96-03312-6|mr=1327038|doi-access=free}}</ref> Однією з геометричних характеристик гіпереліптичних кривих є {{Нп|Точка Веєрштрасса|точки Веєрштрасса|en|Weierstrass point}}. Детальніша геометрія негіпереліптичних кривих походить із теорії {{Нп|Канонічне розшарування|канонічних кривих|en|Canonical bundle}}, [[канонічне відображення]] є 2-до-1 на гіпереліптичних кривих, але 1-до-1 в інших випадках для ''g'' > 2. {{Нп|Гональність алгебричної кривої|Тригональні криві|en|Gonality of an algebraic curve}}&nbsp;— це криві, які відповідають кубічному, а не квадратному кореню многочлена.

Визначення за допомогою квадратичних розширень поля раціональної функції працює для полів загалом, за винятком характеристики 2; у всіх випадках доступне геометричне визначення як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, якщо припускається, що розширення є роздільним.

Гіпереліптичні криві можуть бути використані в {{Нп|Гіпереліптична криптографії|гіпереліптичній криптографії|en|Hyperelliptic curve cryptography}} для [[Криптосистема|криптосистем,]] заснованих на [[Дискретний логарифм|задачі дискретного логарифмування]].

Гіпереліптичні криві також складають цілі зв'язні компоненти певних шарів простору модулів абелевих диференціалів<ref>{{Cite journal|last=Kontsevich|first=Maxim|last2=Zorich|first2=Anton|year=2003|title=Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities|url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_2003-09_153_3/page/631|journal=Inventiones Mathematicae|volume=153|issue=3|pages=631–678|arxiv=math.GT/0201292|bibcode=2003InMat.153..631K|doi=10.1007/s00222-003-0303-x}}</ref>.

Гіпереліптичність кривих роду 2 використано для підтвердження гіпотези [[Громов Михайло Леонідович|Громова]] {{Нп|Гіпотеза про площу заповнення|про площу заповнення|en|Filling area conjecture}} у випадку заповнень роду =1.

=== Класифікація ===
Гіпереліптичні криві даного роду ''g'' мають простір модулів, тісно пов'язаний із кільцем [[Інваріанти бінарної форми|інваріантів бінарної форми]] степеня <math>2g +2</math>.

== Історія ==
Вперше гіпереліптичні функції опублікував {{Нп|Адольф Ґьопель|3=en|4=Adolph Göpel}} (1812—1847) у своїй останній статті ''Абелеві трансценденти першого порядку'' ({{lang-de|Abelsche Transcendenten erster Ordnung}}; {{Нп|Журнал Крелле|Journal für die reine und angewandte Mathematik|en|Crelle's Journal}}, том 35, 1847). Незалежно над цим питанням працював {{Нп|Йоганн Розенгайн|3=de|4=Johann Georg Rosenhain}} і опублікував статтю <u>''Обернення ультраеліптичних інтегралів першого роду''</u> ({{lang-de|Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung}}; Mémoires des savants etc., том 11, 1851).

== Див. також ==
* [[Поверхня Больци]]
* {{Нп|Супереліптична крива|3=en|4=Superelliptic curve}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Посилання ==
* {{SpringerEOM|title=Hyper-elliptic curve}}
* [[arxiv:2007.01749|A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves]] {{ref-en}}

{{Алгебричні криві}}
[[Категорія:Алгебричні криві]]