Перегляд вихідного коду сторінки Астроїда

[[Файл:HypotrochoidOn4.gif|right|230px|thumb|Побудова астроїди]]

'''Астро́їда''' ({{lang-el|αστρον}}&nbsp;— ''[[зоря]]'' і {{lang-el2|ειδος}}&nbsp;— ''вид'')&nbsp;— плоска алгебрична [[крива]], що утворена фіксованою точкою '''М''' [[коло|кола]], яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола вчетверо більшого [[радіус]]а.

Рухоме коло (з радіусом <math>r</math>) називається '''твірним''', нерухоме коло (з радіусом <math>R= 4r</math>)&nbsp;— '''напрямним'''.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}}

Астроїда є <span style="font-family:monospace,monospace;">[[гіпоциклоїда|гіпоциклоїдою]]</span> з параметром  <math>k = \frac{R}{r} = 4</math>, тобто з чотирма [[касп]]ами; розміри твірного  та напрямного кіл: <math>r \, ; \, R = 4r</math>. <br/>Також, астроїда є гіпоциклоїдою з розмірaми напрямного та твірного кіл: <math>R \, ; \, r = \frac{3}{4} \cdot R</math>. {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.1}}

'''Початковою точкою''' астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку <math>P</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від <math>C</math>, що і точка опори.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.805}}

Початкові точки є [[касп]]ами (простими точками звороту) астроїди. Початкові точки лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

'''Вершиною''' астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку <math>V</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від <math>C</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}} Тобто вершина астроїди знаходиться в середині арки астроїди; астроїда має чотири вершини.

Криву вперше вивчав [[Йоганн Бернуллі]] в 1691 році, також про неї згадується в листуванні Лейбніца 1715 року, та в працях Даламбера 1748 року.
Назву  "Astrois" кривій дав [[Йозеф Йоганн Літтров]] в 1838 році.<ref>{{cite book|author=J. J. v. Littrow|title=Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik|chapter=§99. Die Astrois|year=1838|location=Wien|pages=299|chapter-url=https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299}}</ref><ref>{{cite book|author=Loria, Gino|title=Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte|url=https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog|year=1902|location=Leipzig|pages=[https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n250 224]}}</ref>.

== Рівняння кривої ==
Нехай радіус напрямного (нерухомого) кола дорівнює <math>R = a</math>, а радіус твірного (рухомого) кола дорівнює <math>r</math>. Тоді:
* Рівняння астроїди в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] в неявному виді:{{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}}
:<math display="block">x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. </math>

Також: <ref>Виведення цього рівняння наведено  http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf</ref>
<math display="block">\left(x^2 + y^2 - a^2\right)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0. </math>

При цьому [[вісь координат|осі координат]] проходять через початкові точки ([[касп]]и) <span style="font-family:monospace,monospace;">астроїди</span> (рис.), та є її осями симетрії; центр астроїди (центр нерухомого кола) знаходиться в початку координат <math>O (0, 0)</math>.

* Рівняння астроїди в декартовій системі координат в [[Параметричне рівняння| параметричному]] виді: {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}}
:<math display="block">
\begin{cases}
 x = a\cos^3 t &= \frac{a}{4} \left( 3\cos \left(t\right) + \cos \left(3t\right)\right) \\[2ex]
 y = a\sin^3 t &= \frac{a}{4} \left( 3\sin \left(t\right) - \sin \left(3t\right) \right)
\end{cases} \, ; \quad 0 \le t \le 2 \pi
</math>
При цьому початкова точка астроїди, її [[касп]], з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі <math>Ox</math>.

Параметр <math>t</math>&nbsp;— це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі <math>Ox</math>.

* Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: <ref name="Mathcurve">[https://mathcurve.com/courbes2d/astroid/astroid.shtml Asrtoid] на сайті [https://mathcurve.com Mathcurve]</ref>
: <math>4 z = a \cdot \left( 3 e^{ i t} + e^{-3i t} \right) </math> .

* Рівняння астроїди в [[Полярна система координат|полярній системі координат]]:
:<math display="block">\rho = \frac{a}{\left ( \cos^{\frac{2}{3}} \varphi + \sin^{\frac{2}{3}} \varphi \right )^{\frac{3}{2}}} = \frac{| \sec \varphi |}{\left ( 1+ \operatorname{tg}^{\frac{2}{3}} \varphi \right )^{\frac{3}{2}}} ; </math>
де полярний кут <math>\varphi = \operatorname{arctg} \frac{y}{x} = \operatorname{arctg} \left ( \operatorname{tg}^3 t \right ). </math>
*{{Не перекладено|Рівняння Чезаро||en|Cesàro equation}} для астроїди має вигляд: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819 ;}} {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}} 
: <math>\rho^2 + 4 \ell^2 = \frac{9}{4} \cdot a^2 </math>
де <br/>
<math> \rho </math>&nbsp;— радіус кривини астроїди в певній точці; <br/>
<math> \ell </math>&nbsp;— довжина дуги астроїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість астроїди:<br/>Якщо дуга астроїди котиться без ковзання по прямій <math>AB</math>, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої <math>AB</math>, через яку прокочується вершина астроїди; одна з напівосей збігається з прямою <math>AB</math> і по довжині дорівнює половині арки астроїди, а саме: <math>\left| \frac{4r \cdot (R - r)}{R} \right| = \frac{3}{4} \cdot a</math>.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: <math> \left| \frac{4r \cdot (R - r)}{R - 2r} \right| = \frac{3}{2} \cdot a</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819}}

== Метричні характеристики ==
* Довжина дуги астроїди між точками, що відповідають параметру <math>t \quad \left( 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \right )</math> <ref name="MathWorld">{{MathWorld|Astroid|Astroid}}</ref>
:<math>\ell = \frac{3}{2} \cdot \sin^2 t \cdot a.</math>

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки астроїди дорівнює:
: <math>\ell =  \frac{3}{2} \cdot a </math>
а довжина всієї астроїди:
: <math>\ell = 6 \cdot a </math>

* [[Площа]] сектора, що обмежений однією аркою астроїди та координатними осями, дорівнює
: <math> S = \frac{3}{32} \cdot \pi a^2 </math>
а фігури, що обмежена повною астроїдою: <ref name="MathWorld"> </ref>
: <math> S = \frac{3}{8} \cdot \pi a^2 \approx 1.178097 \cdot a^2</math>
{{ OEIS|A093828}}.

* Площа поверхні [[тіла обертання]], утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}}
:<math>S = \frac {12}{5}\,\pi  a^2</math>

* [[Об'єм]] [[тіла обертання]], утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}}
:<math>V=\pi \int \limits_{-a}^{a}\left (a^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi  a^3</math>

* [[Кривина (математика)|Кривина]] астроїди в деякій її точці <math>M</math>, що відповідає параметру <math>t</math>: <ref name="MathWorld"/>
:<math>\kappa (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{|\sin 2t|}</math>

а [[Кривина (математика)|радіус кривини]] в цій точці: {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2}}
: <math>\rho (t) =  \frac{3}{2} \cdot |\sin 2t| \cdot a = 3 \cdot \sqrt[3]{a \cdot xy}.</math>
В точках звороту астроїди радіус кривини дорівнює <math>\rho = 0 ,</math> <br/>В вершинах астроїди радіус кривини дорівнює <math>\rho = \frac{3}{2} \cdot a .</math>

* [[Центр мас]]
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! colspan="4" class="hintergrundfarbe6"| Координати центра мас частин астроїди
|-
!
| Інтервал
| <math>x_\mathrm{S}</math>
| <math>y_\mathrm{S}</math>
|-
! style="text-align:left"| Периметр кривої
| 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{2}{5}a </math>
| <math>\tfrac{2}{5}a </math>
|-
!
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>
|  0
| <math>\tfrac{2}{5}a</math>
|-
! style="text-align:left"| Плоска фігура
|  0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
|-
!
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>
| 0
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
|-
! style="text-align:left"| Тіло обертання навколо осі  Х <math>( z_S = 0 )</math>
| 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{21}{128}a</math>
| 0
|}

== Властивості та особливості форми ==
* Астроїда є [[Плоска крива|плоскою]] [[Алгебрична крива|алгебричною кривою]] шостого порядку роду 0.<ref name=":0">[https://people.math.carleton.ca/~cingalls/studentProjects/Katie's%20Site/html/Astroid.html Astroid] на сайті  people.math.carleton.ca</ref>
* Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини, а інші дві&nbsp;— через протилежні [[касп]]и астроїди. Крива має центр симетрії.
* Астроїда має чотири [[Сингулярність (математика)|сингулярні точки]] на дійсній площині (точки звороту); також астроїда має дві комплексні сингулярні точки звороту на нескінченності, та чотири комплексні сингулярні вузлові (подвійні) точки. Загалом астроїда має 10 [[Сингулярність (математика)|сингулярних]] точок.<ref name=":0"/>
{{multiple image
 | image1 = Astroid1.gif
 | width1 = 180
 | caption1 = 
 | image2 = EnvelopeAnim.gif
 | width2 = 180
 | caption2 = Астроїда як обвідна сімейства відрізків
 | image3 = Astroid created with Elipses with a plus b const.svg
 | width3 = 180
 | caption3 = Астроїда як обвідна сімейства еліпсів<br/>Астроїда{{math|1= ''x''{{sup|{{frac|2|3}}}} + ''y''{{sup|{{frac|2|3}}}} = ''r''{{sup|{{frac|2|3}}}}}} є обвідною сімейства еліпсів з рівнянням {{math|1= ({{frac|''x''|''a''}}){{sup|2}} + ({{frac|''y''|''b''}}){{sup|2}} = ''r''{{sup|2}}}}, де {{math|1= ''a'' + ''b'' = 1}}.}}
* [[Дотична]] до астроїди в довільній її точці '''Р''' утворює в перетині з осями координат відрізок '''АВ''' сталої довжини '''а'''.
* Астроїда є [[Обгортка (геометрія)|обвідною]] сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
* Астроїда є [[Обгортка (геометрія)|обвідною]] сімейства [[Коаксіальний|коаксіальних]] (співвісних) [[Еліпс|еліпсів]], для яких сума малої та великої півосей є сталою. {{Sfn|Robert C. Yates|1947}}{{rp|стор.2, рис.2b ;}} <ref name="MathWorld"/> {{Sfn|D. Wells|1991}} {{rp|стор.11}} 
{{Clear}}
* [[Файл:Quadrifolium is pedal of astroid.svg|праворуч|безрамки]]  [[Подера|Подерою]] [[Астроїда|астроїди]] відносно її центра є [[чотирипелюсткова троянда]]. {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.166}}
Для астроїди
: <math>\begin{cases}
x(t) =R \cdot \cos^3 \frac{t}{3}\\
y(t) =R \cdot \sin^3 \frac{t}{3}
\end{cases}</math>, 
де <math>t</math>&nbsp;— кут повороту твірного (рухомого) [[Коло|кола]];<br/>
<math>R</math>&nbsp;— радіус напрямного (нерухомого) кола.<br/>
рівняння [[Подера|подери]] відносно її центру (початку координат) буде:
:<math>\rho = \frac{R}{2} \cdot \sin 2\varphi</math>
або
:<math>(x^2+y^2)^3 = R^2\cdot x^2y^2</math>
Ця [[Троянда (плоска крива)|троянда]] є вписаною в [[коло]], яке вписане в [[Астроїда|астроїду]]. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди.<ref name="Mathcurve"/>  {{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.133; 166}}
{{clear}}
[[Файл:Evolute of astroid.gif|thumb|right|Еволюта астроїди]]
* Астроїда (як і будь-яка [[гіпоциклоїда]]) та її [[еволюта]] [[Подібність (геометрія)|подібні]].<ref>[https://mathworld.wolfram.com/HypocycloidEvolute.html Hypocycloid Evolute&nbsp;— from Wolfram MathWorld]</ref>

Відношення подібності складає {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.818}} <math>R : (R-2r) = 2 ,</math> тобто еволюта астроїди вдвічі більша за неї.

Еволюта має той же центр, що і початкова астроїда. Каспи початкової кривої збігаються з вершинами її еволюти. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану астроїду на кут <math>\frac{\pi}{4}</math>, а потім відповідно маштабувавши її.{{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.131}}

Для астроїди <math>
\begin{cases}
 x = a \cdot \cos^3 t  \\
 y = a \cdot \sin^3 t \end{cases} </math> рівняння її еволюти: {{Sfn|Lockwood E. H. (Edward Harrington).|1961}} {{rp|стор.60}}
:<math>
\begin{cases}
 x = a \cdot \cos t \cdot (1 + \sin^2 t)  \\
 y = a \cdot \sin t \cdot (1 + \cos^2 t) \end{cases}
</math>
{{multiple image
 | image1 = Evolute of ellipse.gif
 | width1 = Анімація утворення еволюти еліпса
 | caption1 = 
 | image2 = Evolute-elli.svg
 | width2 = 180
 | caption2 = Еліпс та його евоолюта
 | image3 = Evolute1.gif
 | width3 = 180
 | caption3 = }}
* Еволютою [[Еліпс|еліпса]] <math>
\begin{cases}
 x = a \cdot \cos t  \\
 y = b \cdot \sin t \end{cases} </math> є крива, що є узагальненням астроїди&nbsp;— ''подовжена астроїда'', рівняння якої:{{Sfn|Савелов А.А.|1960}}{{rp|стор.267}}
:<math display="block"> 
\begin{cases}
 x = \frac{a^2 - b^2}{a} \cdot \cos^3 t  \\
 y = - \frac{a^2 - b^2}{b} \cdot \sin^3 t \end{cases}
</math>
Вилучивши параметр <math>t</math>, отримаємо рівняння еволюти еліпса в неявному виді:
:<math display="block">\left ( \frac{x}{\frac{a^2 - b^2}{a}} \right )^{\frac{2}{3}} + 
\left ( \frac{y}{\frac{a^2 - b^2}{b}}  \right )^{\frac{2}{3}} =  1</math>
* [[Дуальна крива|Двоїстою кривою]] астроїди є хрестоподібна крива з рівнянням: <math display="inline"> x^2 y^2 = x^2 + y^2.</math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{УРЕ}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 168,171–173] | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 }}

* {{Книга| автор= Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.
| назва= Графіки функцій. Довідник.
| відповідальний= під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І.
| видавництво= Наукова думка
| рік=1977
| сторінок= 320
| isbn=
| місце= Київ
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/59393
| ref= Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І.}}

* {{Книга| автор= Савелов А.А.
| заголовок= Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство)
| видання= 
| видавництво= государственое издательство физико- математической литератури
| рік=1960
| isbn=
| місце= москва
| посилання= https://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/52872
| ref=  Савелов А.А.}}

* {{Книга| автор= Выгодский М.Я.
| заголовок= Справочник по высшей математике
| видання= изд.10
| видавництво= Наука| рік=1973
| isbn=
| місце= москва
| посилання= http://flibusta.site/b/744132
| ref= Выгодский М.Я.}}

* {{cite book | author= Robert C. Yates 
| title=A Handbook on Curves and their Properties 
| publisher=digital reprint by www.CircuitousRoot.com 
| year=1947 
| isbn=
| pages= 198
| url=https://archive.org/details/YatesHandbookCurves1947/page/n123/mode/1up 
|ref= Robert C. Yates}}
* {{cite book | author= Lockwood E. H. (Edward Harrington)
| title=A Book of Curves
| publisher=Cambridge, Eng. : University Press 
| year=1961
| isbn= 9780511569340
| pages= 198
| url= https://books.google.com.ua/books/about/Book_of_Curves.html?id=VI8MwwEACAAJ&redir_esc=y }}

* {{cite book
|last = Wells |first = D.
|title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry
|year = 1991
|language = en
|pages = 154-155
|isbn = 0-14-011813-6
|publisher = London: Penguin
|url = https://ia801205.us.archive.org/16/items/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/The%20Penguin%20Dictionary%20of%20Curious%20and%20Interesting%20Geometry.pdf
|ref= D. Wells
}}
* {{Книга| автор= Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М.
| заголовок= Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник
| видання= 
| видавництво= фазис
| рік=1997
| сторінок= 336
| isbn= 5-7036-0027-8
| місце= москва
| посилання= https://ua.libcats.org/book/508929
| ref=  Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М.}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|Astroid|Astroid}}
* {{springer|title=Astroid|oldid=53278}}
* Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Astroid/ Astroid] на сайті [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/  MacTutor] (англ.) 
*''Ferréol Robert'' , [https://mathcurve.com/courbes2d/astroid/astroid.shtml ASTROÏDE], на сайті [https://mathcurve.com/ MATHCURVE.COM], 2006
*Xah Lee. [http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html Astroid]

{{Бібліоінформація}}
{{Криві}}
[[Категорія:Алгебричні криві]]
[[Категорія:Рулети (криві)]]