Ґратка з діленням

Ґратка з діленням — алгебраїчна структура в теорії ґраток, що одночасно є ґраткою x ≤ y та моноїдом x•y, яка дозволяє операції x\z та z/y, що є аналогами ділення чи імплікації, якщо розглядати x•y як множення чи кон'юнкцію, відповідно.

Прикладами ґраток з діленням є булеві алгебри, булеві алгебри з діленням, алгебри Гейтінга, MV-алгебри.

Визначення

Ґратка з діленням $(L,\le ,\cdot ,e)$ така алгебраїчна структура, що:

1. $(L,\le )$ — ґратка
2. $(L,\cdot ,e)$ — моноїд
3. Для всіх z виконується: існує для кожного x таке найбільше y, та існує для кожного y таке найбільше x, що x•y ≤ z (властивість ділення).

В (3), таке «найбільше y», залежить від z та x, позначається x\z та називається права частка z по x. Двоїстим поняттям є «найбільший x» позначається z/y та називається ліва частка z по y.

Перепишемо (3) еквівалентно:

3'. $\mathrm{\forall }x,y,z\in L:y\le x\mathrm{\setminus }z⟺x\cdot y\le z⟺x\le z/y.$

Для фіксованого x в L, унарні операції x• та x\ є відповідно нижнім та верхнім спряженням в відповідності Галуа на L, дуально це також справедливо і для функцій •y та /y. Тому існує інше визначення, а саме:

$x\cdot (x\mathrm{\setminus }y)\le y\le x\mathrm{\setminus }(x\cdot y),$

$(y/x)\cdot x\le y\le (y\cdot x)/y,$

разом з вимогою монотонності x•y по x та по y. (З аксіом (3) чи (3') монотонність виводиться, але nen її потрібно вводити окремою аксіомою.) Тепер можна розглядати x• та x\ як псевдообернення чи спряження один до одного, а також •x до /x.

Аксіома монотонності теж може бути записана через нерівність $x\cdot y\le (x\vee y)\cdot y$

І навпаки, нерівність $x\le y$ може бути записана як $x\wedge y=x$ чи $x\vee y=y.$ Тому перейшовши до визначення ґратки через тотожності отримаємо іншу сигнатуру $(L,\wedge ,\vee ,\cdot ,e,/,\mathrm{\setminus })$

Приклади

Булеві алгебри та алгебри Гейтінга є комутативними ґратками з діленнямв яких x•y = x∧y (тому одиниця множення e збігається з максимальним елементом 1) та обидва ділення x\y та y/x є однією операцією, а саме імплікацією x → y.

Див. також

• Відповідність Галуа

Джерела

• Шаблон:Биркгоф.Теория решёток
• Ward, Morgan, and Robert P. Dilworth (1939) "Residuated lattices," Trans. Amer. Math. Soc. 45: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth Basel: Birkhäuser.