Щільність послідовності

Щільність послідовності ― поняття загальної адитивної теорії чисел, що вивчає закони додавання цілих послідовностей загального вигляду. Щільність послідовності є мірою того, яка частина послідовності всіх натуральних чисел належить даній послідовності $A=\{a_i\}$ цілих невід'ємних чисел $0=a_0<a_1<a_2<\dots$. Під поняттям щільності послідовності мають на увазі щільність $d(A)$, введену в 1930 Шнірельманом (звідси англійська назва терміна — Schnirelmann density) послідовності, А саме:

$d(A)=\underset{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\inf }({\pi }_A(n)-1)/n$

де ${\pi }_A(n)$ — кількість членів послідовності $A$, що не перевищують $n$.

Пов'язані визначення

Нехай $A+B$ ― арифметична сума послідовностей $A=\{a_i\}$ і $B=\{b_i\}$, тобто множина $A+B=\{c\in {\mathbb{Z}}_{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\}$.

Якщо $A=B$ вважають $2A=A+A$, аналогічно $3A=2A+A$ і т. д.

Якщо $nA={\mathbb{Z}}_{+}$, то $A$ називається базисом $n$-го порядку.

Властивості

• Щільність $d(A)=1$ тоді і тільки тоді, коли $A$ збігається із множиною ${\mathbb{Z}}_{+}$ всіх цілих невід'ємних чисел.
• Нерівність Шнірельмана

$d(A+B)\ge d(A)+d(B)-d(A)d(B)$

• Нерівність Манна ― Дайсона

$d(A+B)\ge \min \{d(A)+d(B),1\}$

З нерівності Шнірельмана випливає, що будь-яка послідовність додатної щільності є базисом скінченного порядку. Застосування цього факту до адитивних задач, у яких часто підсумовуються послідовності нульової щільності, здійснюється за допомогою попереднього конструювання з заданих послідовностей нових з додатною щільністю. Наприклад, за допомогою методів решета доводиться, що послідовність $\{p\}+\{p\}$, де $p$ пробігає прості числа, має додатну щільність. Звідси випливає теорема Шнірельмана: існує таке ціле число $c_0>0$, що будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж $c_0$ простих чисел. Ця теорема дає розв'язок так званої ослабленої проблеми Гольдбаха.

Варіації та узагальнення

Різновидом поняття щільності послідовності є поняття асимптотичної щільності, окремим випадком якої є натуральна щільність.

Поняття щільності послідовності узагальнюється на числові послідовності, відмінні від натурального ряду, наприклад на послідовності цілих чисел у полях алгебричних чисел. Завдяки цьому вдається вивчати базиси в алгебричних полях.