Числа Салема

У математиці число Салема — дійсне ціле алгебричне число α > 1, всі спряжені якого мають модуль не більший від 1 і, принаймні, одне з них має одиничний модуль. Числа Салема становлять інтерес для діофантових наближень та гармонічного аналізу. Їх названо на честь французького математика Рафаеля Салема.

Властивості

Оскільки число Салема має спряжене число з абсолютним значенням 1, мінімальний многочлен для числа Салема має бути Шаблон:Не перекладено. Звідси випливає, що 1/α також є коренем решта коренів мають абсолютне значення, що дорівнює 1. Як наслідок, число α має бути оборотним елементом (одиницею кільця) в кільці цілих алгебричних чисел, яке є нормою 1.

Кожне число Салема є числом Перрона (цілим алгебричним числом, більшим від 1, модуль якого більший, ніж у всіх його спряжених).

Зв'язок з числами Пізо-Віджаяраґгавана

Найменше відоме число Салема є найбільшим дійсним коренем многочлена Лемера (названого на честь американського математика Шаблон:Нп).

$P(x)=x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1,$

значення якого x ≈ 1,177 628; припускають, що це найменше число Салема і найменша можлива міра Малера для нециклічного многочлена.

Многочлен Лемера є множником коротшого многочлена 12-го степеня,

$Q(x)=x^{12}-x^7-x^6-x^5+1,$

всі дванадцять коренів якого задовольняють співвідношення

$x^{630}-1=\frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1{)}^2(x^{90}-1)(x^3-1{)}^3(x^2-1{)}^5(x-1{)}^3}{(x^{35}-1)(x^{15}-1{)}^2(x^{14}-1{)}^2(x^5-1{)}^6{x}^{68}}$ .

Числа Салема тісно пов'язані з числами Пізо — Віджаяраґгавана (PV-числами). Найменшим із PV-чисел є єдиний дійсний корінь многочлена 3-го степеня

$x^3-x-1,$

відомий як «пластичне число» і приблизно рівний 1,324718. PV-числа можна використовувати для генерування сімейства чисел Салема, зокрема найменшого з них. Загальний спосіб — взяти найменший многочлен P(x) PV-числа степеня n і його обернений многочлен P*(x) (коефіцієнти якого, грубо кажучи, утворюються «віддзеркаленням» коефіцієнтів многочлена P(x) відносно x^n/2) і розв'язати рівняння

$x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)$

щодо цілого n. Віднімаючи одну сторону від іншої, факторизуючи та виключаючи тривіальні множники, можна отримати мінімальний многочлен для деяких чисел Салема. Наприклад, якщо взяти пластичне число, а на місці написаного вище плюс-мінуса вибрати плюс, то:

$x^n(x^3-x-1)=-x^3-x^2+1$

і для n = 8 отримаємо

$(x-1)(x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1)=0,$

де многочлен 10-го степеня — многочлен Лемера. Використовуючи більше значення n, отримаємо сімейство многочленів, один із коренів яких наближається до пластичного числа. Це можна зрозуміти, добуваючи корені n-го степеня з обох сторін рівняння,

$x(x^3-x-1{)}^{1/n}=\pm (x^3+x^2-1{)}^{1/n}$ .

Що більше значення n, то більше x наближатиметься до розв'язку x³ − x − 1 = 0. Якщо на місці плюс-мінуса поставити плюс, то корінь х наближається до пластичного числа в протилежному напрямі. Використовуючи мінімальний многочлен $x^4-x^3-1$ наступного найменшого PV-числа

$x^n(x^4-x^3-1)=-(x^4+x-1),$

який для n = 7 набуває вигляду

$(x-1)(x^{10}-x^6-x^5-x^4+1)=0$

при степені полінома, не згенерованому в попередньому, і має корінь x ≈ 1,216391…, що є п'ятим найменшим відомим числом Салема. Оскільки n прямує до нескінченності, це сімейство, своєю чергою, прямує до більшого дійсного кореня з x⁴ − x³ − 1 = 0.

Література

• Шаблон:Книга Chap. 3.
• Шаблон:SpringerEOM
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга