Числа Каллена

В математиці числами Каллена називають натуральні числа виду $n\cdot 2^n+1$ (пишеться C_n). Числа Каллена вперше були досліджені Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — це особливий вид чисел Прота.

Властивості

В 1976 році Христофор Хулей (Christopher Hooley) показав, що для щільності послідовності додатних  цілих $n\le x$, при яких C_n просте, існує o(x) для $x\to \mathrm{\infty }$. В цьому сенсі майже всі числа Каллена складні. Доведення Христофора Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності чисел $n\cdot 2^{n+a}+b$де a та b цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Всі відомі прості числа Каллена відповідають n, рівному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (послідовність A005849 в OEIS). 

Є припущення, що існує нескінченно багато  простих чисел Каллена.

До серпня 2009, найбільшим відомим простим числом Каллена було $6679881\cdot 2^{6679881}+1$. Це мегапросте число з 2 010 852 знаками було відкрито співучасником PrimeGrid з Японії.

Числа Каллена C_n ділятся на $p=2n-1$, якщо p просте число виду $8k-3$. Це випливає з малої теореми Ферма, бо якщо p просте непарне, то p є дільником C_m(k) для кожного $m(k)=(2^k-k)(p-1)-k$ (для k > 0). Було також показано, що просте число p є дільником $C_{(p+1)/2}$, коли символ Якобі $\left(\frac{2}{p}\right)$ −1, і що p є дільником $C_{(3p-1)/2}$, коли символ Якобі $\left(\frac{2}{p}\right)$ +1.

Невідомо, чи існує просте число p, таке що C_p також просте.

Узагальнення

Інколи узагальненими числами Каллена називають числа виду $n\cdot b^n+1$, де n + 2 > b. Якщо просте число може бути записано в такій формі, його називають узагальненим простим числом Каллена. Числа Вудала інколи називають числами Каллена другого роду.

До лютого 2012 року найбільшим відомим узагальненим простим числом Каллена було $427194\cdot 113^{427194}+1$. Воно має 877 069 знаків і було відкрито співучасником PrimeGrid з США.

Подальше читання

• Cullen, James (1905), «Question 15897», Educ. Шаблон:Citation.
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.Шаблон:Citation.
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, New York: Cambridge University Press, сс. 115—119, ISBN 0-521-20915-3Шаблон:Citation.
• Keller, Wilfrid (1995), «New Cullen Primes», Mathematics of Computation Т. 64 (212): 1733—1741, <http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf>Шаблон:Citation.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
• Шаблон:MathWorld(англ.)Шаблон:MathWorld
• Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers