Цілочисельна ґратка

n-вимірна цілочисельна ґратка (або кубічна ґратка), позначувана Zⁿ, — це ґратка в евклідовому просторі Rⁿ, точки якої є n-кортежами цілих чисел. Двовимірну цілочисельну ґратку називають також квадратною ґраткою. Zⁿ є найпростішим прикладом ґратки коренів. Цілочисельна ґратка є непарною унімодулярною ґраткою.

Група автоморфізмів

Група автоморфізмів (або група конгруенції) цілої ґратки складається з усіх перестановок і зміною знаків координат і має порядок 2ⁿ n!. Як матрична група ця група задається множиною всіх n×n знакових матриць перестановок. Ця група ізоморфна напівпрямому добутку

(ℤ_{2})^{n} ⋊ S_{n}

,

де симетрична група S_n діє (Z₂)ⁿ шляхом перестановки (є класичним прикладом Шаблон:Не перекладено).

Група квадратної ґратки є групою квадратів або діедральною групою порядку 8. Для тривимірної кубічної ґратки маємо групу кубів, Шаблон:Не перекладено порядку 48.

Діофантова геометрія

Шаблон:Докладніше Під час вивчення діофантової геометрії квадратну ґратку точок із цілими координатами часто називають діофантовою площиною. В математичних термінах діофантова площина є прямим добутком $ℤ \times ℤ$ кільця всіх цілих чисел $ℤ$ . Вивчення Шаблон:Не перекладено фокусується на виборі вузлів діофантової площини, таких, що всі попарні відстані між точками є цілими.